第9章 平面向量——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册单元测试（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 第9章 平面向量———2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册单元测试 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知向量，，且，则实数( ) A.1或4 B.1或 C.或1 D.或1 2．已知向量,的夹角为,且,,则( ) A. B. C. D.1 3．已知,,,则与的夹角( ) A. B. C. D. 4．如图,边长为2的正方形中,点E是线段上靠近D的三等分点,F是线段的中点,则( ) A.-4 B.-3 C.-6 D.-2 5．已知向量,,若,则( ) A.8 B.-8 C. D. 6．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则( ) A.9 B. C.12 D. 7．,,,则( ) A.-2 B.2 C.1 D.-1 8．在平行四边形ABCD中,,,,,则( ) A.2 B. C. D.4 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．如图,设,且,当时,定义平面坐标系为的斜坐标系,在的斜坐标系中:设,是分别与x轴,y轴正方向相同的单位向量,若,记,则在的斜坐标系中下列说法正确的是( ) A.设,,若,则, B.设,则 C.设,,则 D.设,,则与的夹角为 10．以下关于平面向量的说法中，正确的是( ) A.既有大小，又有方向的量叫做向量 B.所有单位向量都相等 C.零向量没有方向 D.平行向量也叫做共线向量 11．下列各组向量中，不能作为一组基底的是( ) A.， B.， C.， D.， 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．在中,,E是线段AD上的动点,设,则_____. 13．已知向量在向量上的投影向量为,则向量_____. 14．已知平面向量，，若与垂直，则实数_____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值. 16．已知两个非零向量,,将向量绕着它的起点沿逆时针方向旋转弧度后,其方向与向量的方向相同,则叫做向量到的角.已知非零向量到的角为,数量叫做向量与的运算,记作,即.根据此定义,不难证明以下性质:①;②;③. （1）利用以上性质证明:; （2）设到的角为,定义.当时,则表示面积;当时,则表示面积的相反数.利用上述定义和性质证明: ①如图,四边形ABCD的两边AD,BC延长相交于点E,对角线AC,BD的中点为F,G,求证:四边形ABCD的面积等于的面积的4倍; ②在平面直角坐标系中,记向量,,各顶点坐标分别为,,,求证:面积为. 17．已知四边形ABCD的顶点坐标为，，，且. （1）若点C在第一象限，求实数的取值范围； （2）若点M为直线AC外一点，且，问实数为何值时，点P恰为四边形ABCD对角线的交点. 18．用向量的方法证明梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线等于两底边和的一半，且平行于上、下两底边. 19．如图，在中，AD是BC边上的中线. （1）取BD的中点M，试用和表示. （2）若G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F.若，（，），求的最小值. 参考答案 1．答案：B 解析：由，，，有，解得. 故选：B 2．答案：A 解析：, 故选:A 3．答案：B 解析：因为,,, 所以, 因为,所以. 故选：B. 4．答案：D 解析：因为, , 所以. 故选：D. 5．答案：B 解析：因为向量,,, 所以, 所以. 故选:B. 6．答案：B 解析：由题意可知，，， 设，由勾股定理可得，解得， 所以，所以， 故选：B. 7．答案：A 解析：因为, 所以, 故选：A. 8．答案：A 解析：在平行四边形ABCD中,如图所示: 因为,所以E是AB的中点, ... ...