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课件网) 第2章轴对称图形 2.4.2线段、角的轴对称性：角的平分线的性质与判定 教学目标 01 理解角的平分线的性质定理 02 理解角的平分线的判定定理 角的平分线的性质 01 课堂引入 如图，OC是∠AOB的平分线。 把∠1沿OC翻折， ∵∠1=∠2， ∴射线OA与射线OB重合。 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。 O B C A 1 2 01 课堂引入 操作———如图，在∠AOB的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD。PC与PD相等吗？ O B A D P C 01 课堂引入 我们可以运用图形运动的方法，利用角的轴对称性，证明PC=PD。 O B A D P C O B(A) D(C) P 把图中的△POC沿PO翻折，∵∠AOP=∠BOP，∴OA=OB重合。 ∵PC⊥OA，PD⊥OB，依据基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，可知PC与PD重合，∴PC=PD。 02 知识精讲 于是，我们得到如下定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等。 注意：①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； ②使用该结论需满足：图中有角平分线，有垂直， 符号语言：如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD。 O B A D P C 角的平分线的性质定理 03 典例精析 例1、点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于7，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（ ） A．PQ＜7 B．PQ＞7 C．PQ≥7 D．PQ≤7 C 【分析】 ∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于7， ∴点P到OB边的距离等于7，（角平分线上的点到角两边的距离相等） 由“垂线段最短”可知：PQ≥7。 03 典例精析 例2、如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若AD=12，则点P到BC的距离是_____。 【分析】如图，过P作PE⊥BC交于E， ∵AB∥CD，AD⊥AB， ∴AD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD， ∴PA=PE=PD，（角平分线上的点到角两边的距离相等） ∴PE=AD=6。 6 E 03 典例精析 例3、如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC=30，DE=4，BC=10，则AC的长是_____。 【分析】如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F， F ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE=DF=4，（角平分线上的点到角两边的距离相等） ∵S△ABC=S△ADC+S△BDC=30，BC=10， ∴AC DF+BC DE=30， ∴AC×4+×10×4=30，解得：AC=5。 5 03 典例精析 例4、如图，在△ADC中，AD=DC，且AB∥DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD交AD的延长线于点E。 (1)求证：CE=CB； (2)连接BE，求证：AC垂直平分BE。 证明：(1)∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA， ∵AB∥CD，∴∠DCA=∠CAB， ∴∠DAC=∠CAB，即AC是∠EAB的平分线， ∵CE⊥AE，CB⊥AB， ∴CE=CB；（角平分线上的点到角两边的距离相等） 03 典例精析 例4、如图，在△ADC中，AD=DC，且AB∥DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD交AD的延长线于点E。 (1)求证：CE=CB； (2)连接BE，求证：AC垂直平分BE。 (2)∵CE⊥AE，CB⊥AB，∴∠CEA=∠CBA=90°， 在Rt△CEA和Rt△CBA中， ， ∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），∴AE=AB，∴点A在线段BE的垂直平分线上， ∵CE=CB，∴点C在线段BE的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BE。 03 典例精析 【拓展———角平分线定理】如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，求证： AB：AC=BD：DC。 【分析】如图，过D作DE⊥AB交于E，过D作DF⊥AC交于F，过A作AG⊥BC交于G， E F G ∵AD是∠BAC的平分线，∴DE=DF， ∵S△ABD=AB DE，S△ACD=AC DF，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC， 又∵S△ABD=BD AG，S△ACD=DC AG，∴S△ABD：S△ACD=BD：DC， ∴AB：AC=BD：DC。 角的平分线的判定 01 课堂引入 讨论———如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。反过来，如果一个点到一个角的两边距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗 ... ...
