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课件网) 13.1.2线段的垂直平分线的性质 第十三章———轴对称 COTENTS 能用尺规作图过一点作已知直线的垂线； 理解并掌握线段垂直平分线的性质及判定； 01 02 学习目标 能作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图. 03 知识回顾 上节课我们学习了线段垂直平分线的概念，什么叫线段垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．也把这条直线叫做中垂线. N M P 如图，MN⊥AA′，垂足为P, 且 AP = A′P，则称直线MN是线段AA′ 的垂直平分线. A′ A 探究新知 【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请猜想AP1和BP1 ，AP2和BP2 ，AP3和BP3… 之间的大小关系． A B l P1 P2 P3 AP1=BP1 ，AP2=BP2 ，AP3 =BP3 … 探究新知 A B l P1 P2 P3 【猜想】线段的垂直平分线上的任意一点与这条线段两个端点的距离相等. 【提问】在图中的直线 l 上任取一点，这一点与线段AB两个端点的距离相等吗？ 下面我们尝试证明该猜想是否正确. 【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请猜想AP1和BP1 ，AP2和BP2 ，AP3和BP3… 之间的大小关系． A B l ┐ C P 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点 P 在 l 上．求证：PA =PB． 证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB = 90°． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？ 【结论】线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 符号语言： ∵ OA =OB，l⊥AB， ∴ PA =PB． A B l ┐ O P 【思考】反过来，如果PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 【猜想】与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，即如果 PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上. 已知：如图，PA =PB．求证：点P在线段AB 的垂直平分线上． 证明：如图作PC⊥AB 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上 A B P ┐ C 由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？ 【结论】线段垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 符号语言： ∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． A B l ┐ O P 1、从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等. 2、反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线 l 可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合. A B l ┐ O P 例题练习 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：（1）任意取一点K，使点K 和点C 在AB的两旁． （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以点D和E为圆心，以大于DE一半的长为半径作弧，两弧相交于点F． （4）作直线CF．直线CF 就是所求的垂线． 为什么直线CF 就是所求作的垂线？ K A B C D E F 剪刀 从作法的（2）（3）步可知CD=CE，DF=EF， ∴点C，F 都在DE的垂直平分线上． ∴CF 就是线段DE的垂直平分线． 又∵点D，E 在直线 AB 上， ∴CF 就是所求直线 AB 的垂线． 【思考】为什么直线CF 就是所求作的垂线？ A B C D E F 剪刀 【思考】有时我们感觉两个平面图形是成轴对称的，但是如何验证呢？在不折叠图形的情况下，你能准确地做出轴对称图形的对称轴吗？ 如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段 ... ...
