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课件网) 2．2.2 函数的奇偶性 2．2 函数的简单性质 提示： 问题2：观察它们的图象有何对称性？ 问题3：填写下表 表一 x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝x2 f(x)＝|x| 9 4 1 0 1 4 9 3 2 1 0 1 2 3 表二 问题4：从上面两个表格中，可以得出什么结论？ 提示：表一中：f(－x)＝f(x)， 表二中：f(－x)＝－f(x)． 奇函数 偶函数 定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对任意的x∈A，都有 ，那么称函数y＝f(x)是奇函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对任意的x∈A，都有 ，那么称函数y＝f(x)是偶函数 图象 特点 奇函数的图象关于 对称 偶函数的图象关于 对称 奇偶性 如果函数是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性 f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 原点 y轴 函数的奇偶性定义的理解 (1)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质． (2)如果函数的定义域不关于原点对称，那么该函数就不具有奇偶性．所以函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． [思路点拨] 先确定函数的定义域，然后再严格按照函数奇偶性的定义来判断． [一点通] 判断函数的奇偶性的步骤 (1)看函数的定义域是否关于原点对称．(若不对称则为非奇非偶函数) (2)判断f(－x)与f(x)的关系． (3)根据定义，写出结论． ①若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数． ②若f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数． ③若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． ④若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数． 解析：利用函数奇偶性的定义知，①④为偶函数，②⑤为非奇非偶函数，只有③为奇函数． 答案：③ 2．(2011·广东高考改编)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶 函数和奇函数，则下列结论恒成立的是_____． ①|f(x)|－g(x)是奇函数 ②|f(x)|＋g(x)是偶函数 ③f(x)－|g(x)|是奇函数 ④f(x)＋|g(x)|是偶函数 解析：设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立． 答案：④ ②当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1 ＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)． 由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． [思路点拨] 设x>0，则－x<0，利用奇函数的性质f(x)＝－f(－x)得出x>0的解析式，然后用分段函数的形式写出f(x)． [例2] 已知f(x)是R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2－x(1＋x)，求f(x)． [一点通] (1)利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义．求解一般分以下三个步骤：①设所求函数解析式中所给的区间上任一个x，即求哪个区间上的解析式，就设x在哪个区间上．②把所求区间内的变量转化到已知区间内．③利用函数奇偶性的定义f(x)＝－f(－x)或f(x)＝f(－x)求解所求区间内的解析式． (2)由奇函数的定义可知，奇函数f(x)在x＝0处有定义时，一定有f(0)＝0. (3)根据奇函数、偶函数图象的对称性，作出y轴一侧的图象，另一侧的图象可以由对称性得到． 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x) ＝ 2x2－x，则f(1)＝_____. 答案：－3 5．(1)已知函数f(x)是奇函数，且x∈[3a＋1,3a＋5]，则a 的值为_____． (2)已知函数f(x)＝x2＋2mx＋1是偶函数，则m的值为_____． 解析：(1)∵f(x)是定义域为[3a＋1,3a＋5]的奇函数， ∴3a＋1＋3a＋5＝0.∴a＝－1. (2)∵f(x)＝x2＋2mx＋1是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)． ∴x2＋2mx＋1＝x2－2mx＋1.∴m＝0. 答案 ... ...
