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课件网) 函数的奇偶性 宜兴市丁蜀高级中学 吴湘芸 基础整合 1.奇偶函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A， 如果对于任意的x∈A，都有 ，那么称函数y＝f(x)是偶函数。 如果对于任意的x∈A都有 ，那么称函数y＝f(x)是奇函数。 如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性. 如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。 f(－x)=－f(x) f(－x)=f(x) 基础整合 由于定义中对任意一个x都有f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)，说明定义域中任意一个x都有一个 关于原点对称的-x在定义域中,即说明奇偶函数 的定义域关于原点对称。 问题：奇偶函数的定义域有何特点？ 典型例题 例1．判断下列函数的奇偶性： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；( 6 ) 考点1：函数奇偶性的判断 小结： 判断函数奇偶性的方法一般有两种： 一是定义法，步骤：看定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数；若对称，则看解析式能否化简，能够化简的，一定要化简解析式；看f(x)与f(－x)的关系，可以直接观察，也可以用定义的变形式，有时能简化计算； 二是图象法，作出图象，根据图象的对称性得出结论，一般分段函数的奇偶性的判断多用图象法。 基础整合 2.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： （1）首先确定函数的定义域， 并判断其定义域是否关于原点对称； （2） 确定f(－x)与f(x)的关系； （3）作出相应结论：（定义的等价形式） 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。 考点2：函数奇偶性的运用 利用函数的奇偶性求函数值 典型例题 例2 .设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时， f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝_____。 变. 已知 是偶函数，且其定义域为 －1,2 ]，则 = , 。 [ 1/3 0 小结：奇函数f(x)如果在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0，即奇函数的图象若与y轴有交点，则交点一定是原点． -3 基础整合 3.奇偶函数的性质 (1)奇函数的图象关于____对称, 并且在两个对称区间上的单调性_____。 偶函数的图象关于____对称, 并且在两个对称区间上的单调性_____。 (填“相同”、“相反”）. (2)若奇函数的定义域包含0，则f(0)=___； 若为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． 原点 相同 y轴 相反 0 例3．已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时， ，求函数 的解析式。 解：设 ，则 又 是奇函数， 当 时， 综上， 的解析式为 ． 典型例题 小结：求解析式时x=0的情况不能漏；利用奇偶性求解析式一般是通过“-x”实现转化。 考点2：函数奇偶性的运用 利用函数的奇偶性求函数解析式 典型例题 利用函数奇偶性求函数的解析式 例4. 设 为奇函数，g(x)为偶函数，若 ─g(x)= 比较f(1),g(0),g(－2)三者的大小 g(-2)
