27.2.3 用相似三角形综合应用（知识解读+达标检测）（含答案） 2024-2025学年九年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

27.2.3 用相似三角形综合应用 【考点 1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 【考点 2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【考点 3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【考点 4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【考点 5 利用相似三角形测量距离】 知识点 1 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【考点 1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 【典例 1】综合实践课上，小星在甲秀楼附近 P 处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），示意图如 图所示，他站在 C 处通过平面镜恰好能看到甲秀楼的顶端 A 点，此时测得小星的脚到平面镜的距离 = 4m．已知平面镜到甲秀楼底部中心的距离 = 57m，小星眼睛到地面的距离 = 1.6m，点 C、 P、B 在同一水平直线上，且 、 均垂直于水平地面 ．请你用光的反射定理，帮小星计算出甲秀楼 的高度． 【答案】甲秀楼的高度 为22.8m 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．由光的反射 定理易证 △ ∽△ ，得到 = ，即可求出 ． 【详解】解：由光的反射定理得，∠ = ∠ ． ∵ ⊥ ， ⊥ ， ∴∠ = ∠ = 90°． ∴ △ ∽△ ． ∴ = 1.6 4 ，即 = 57． ∴ = 22.8(m)． 因此，甲秀楼的高度 为22.8m． 【变式 1-1】如图所示，小军用如下方法测量教学楼 的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教 学楼的距离 = 20m，当他与镜子的距离 = 2.5m时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端 ，已知 他眼睛距地面的高度 为1.6m，则教学楼 的高度为 m． 【答案】12.8 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，先根据题意得出 △ ∽ △ ，再由相似三角形的对应边 成比例计算是解题的关键．先根据题意得出 △ ∽ △ ，再由相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：依据题意，得∠ = ∠ ， ∵ ∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°， ∴ ∠ = ∠ ， ∵ ∠ = ∠ = 90°， ∴△ ∽ △ ， ∴ = ， 20 即1.6 = 2.5， ∴ = 12.8m， ∴ 教学楼 的高度为12.8m． 故答案为：12.8． 【变式 1-2】如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点 处放一水平的平 面镜，光线从点 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 的顶端 处，测得光源 距离地面高度 = 4米， = 6米， = 12米， ⊥ ， ， ， 三点在同一水平线上，求该古城墙的高度（ 为法线，平 面镜的厚度忽略不计）. 【答案】该古城墙的高度为8米． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明 △ ∽△ ，则 = ，代入数值，即可作 答． 【详解】解：∵ ⊥ ， ， ， 三点在同一水平线上， 为法线， ∴∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ ∴ △ ∽△ ∴ = ∵ = 4米， = 6米， = 12米， ∴ 4 6 = 12 解得 = 8（米） ∴该古城墙的高度为8米． 【变式 1-3】【学科融合】如图 1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射 光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角 等于入射角 ．这就是光的反射定律． 【问题解决】辽阳白塔属国家级文物保护单位，是东北地区最高的砖塔，也是全国六大高塔之一．小强 想借助光的反射测量辽阳白塔的高度．如图 2，小强在地面 处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不 计），他站在 处通过平面镜恰好能看到塔的顶端 ，此时测得小强到平面镜的距离 为 4 米．已知平面 镜到塔底部中心的距离 为 177.5 米，小亮眼睛到地面的距离 为 1.6 米， ， ， 在同一水平直线上， 且 ， 均垂直于 ．请你帮小强计算出辽阳白塔的高度 ． 【答案】辽阳白塔的高度 是 71 米． 【分析】本题主要考查以物理反射 ... ...