3.3垂径定理七大题型（一课一讲）2024-2025九年级上册数学同步讲练【浙教版】（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 3.3垂径定理七大题型（一课一讲） 【浙教版】 题型一：利用垂径定理判断命题 【经典例题1】下列命题正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．三点确定一个圆 【答案】B 【分析】要明确命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．根据矩形、平行四边形、垂径定理、过三点的圆的有关知识即可作出判断． 【详解】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项是假命题； B、相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形，故本选项是真命题； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故本选项是假命题； D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项是假命题； 故选：B． 【变式训练1-1】下列判断正确的是（　　） A．弦心距相等则弦也相等 B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分 C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等 D．弦的垂直平分线必定经过圆心 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关性质，熟练掌握垂径定理及其推论是解题的关键． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平方弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直于平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，弦心距相等则弦也相等，故该选项错误； B、一个圆的两条直径，虽不垂直，但一条一定平分另一条，故该选项错误； C、必须在同圆或等圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等，故该选项错误； D、根据垂径定理得到，故该选项正确． 故选：D． 【变式训练1-2】下列说法正确的是（ ） A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心 C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧 D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦 【答案】D 【分析】本题考查对垂径定理的理解，解题的关键在于正确理解垂径定理及其推论的“知二推三”．根据相关定理逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、过弦（弦不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意； B、弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，一定过圆心，故选项错误，不符合题意； C、过弦（弦不是直径）中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意； D、平分弦所对的两条弧的直线平分弦，选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练1-3】下列说法正确的数量为（ ） （1）三角形的外心到三角形三顶点距离相等 （2）一组对边平行的四边形是梯形 （3）垂直平分弦的直径垂直平分弦所对的弧 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外心、梯形的定义、垂径定理及其推论，根据三角形外心、梯形的定义、垂径定理及其推论进行判断即可. 【详解】解：（1）三角形的外心到三角形三顶点距离相等，说法正确， （2）一组对边平行的四边形，另一组对边不平行的四边形是梯形，原说法错误， （3）垂直平分弦的直径平分弦所对的弧，原说法错误， 说法正确的数量1个， 故选：B 【变式训练1-4】下列命题中，正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直弦的直线必过圆心 D．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 【答案】D 【分析】根据不共线的三点确定一个圆，垂径定理及其推论，圆的对称性解答即可． 本题 ... ...