4.4幂函数 [学习目标] 1.掌握幂函数的概念.(重点)2.掌握幂函数y=xα的图象与性质.(重点)3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.(难点) 导语 同学们,我们说要想学好数学,就要先了解它的发展史,比如我们今天要学习的幂函数,“幂”其原意是遮盖东西用的布,后来引申为面积.《九章算术》刘徽注:“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了明清时代,既称面积为幂,也称平方或立方为幂.清末之后,幂逐渐开始专指乘方概念. 一、幂函数的概念 问题1 函数y=是指数函数吗 为什么 提示 不是,自变量x的位置在底数位置,不符合指数函数定义. 知识梳理 幂函数的定义: 一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数. 注意点: (1)xα的系数为1. (2)底数为自变量x. (3)指数α为常数. 例1 (1)(多选)下列函数为幂函数的是 ( ) A.y=x3 B.y= C.y=4x2 D.y=x 答案 AD 解析 B项为指数函数;C中的函数的系数不为1;A,D为幂函数. (2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,则m= ,n= . 答案 -3或1 解析 由题意得 解得或 所以m=-3或1,n=. 反思感悟 幂函数的判断方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,需满足:①指数为常数,②底数为自变量x,③幂的系数为1.形如y=(3x)α,y=2xα,y=xα+5,…形式的函数都不是幂函数. 跟踪训练1 (1)已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b等于 ( ) A.2 B.1 C. D.0 答案 A 解析 因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数, 所以a=1,-b+1=0, 即a=1,b=1,则a+b=2. (2)若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值为 ( ) A.-3 B.- C.3 D. 答案 D 解析 设f(x)=xα(α为常数), 因为=3,所以=2α=3,即α=log23, 所以f(x)=,则f==. 二、幂函数的图象和性质 问题2 在同一平面直角坐标系中,你能画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象吗 提示 知识梳理 1.五个幂函数的图象 2.五个幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在R上是增函数 在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数 在R上是增函数 在[0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是减函数 公共点 (1,1) 注意点: (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点(1,1).在第四象限内都没有图象.在第二、三象限内的图象可由函数的奇偶性画出. (2)当α>0时,幂函数的图象都通过点(0,0),在第一象限内,当0<α<1时,曲线上凸;当α>1时,曲线下凸,并且在区间[0,+∞)上是增函数. (3)当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方且无限逼近y轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限逼近x轴. (4)在x=1右侧,幂函数y=xα的指数α从下向上看递增,即“指大图高”“指小图低”. 例2 (1)如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则对应于c1,c2,c3,c4的n依次为 ( ) A.-2,-,2 B.2,,-,-2 C.-,-2,2, D.2,,-2,- 答案 B 解析 根据幂函数y=xn的性质, 故c1的n=2,c2的n=, 当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭, 所以曲线c3的n=-,曲线c4的n=-2. (2)函数y=的大致图象是 ( ) 答案 B 解析 ∵函数y=是奇函数,且α=>1, ∴函数y=的大致图象为B. 反思感悟 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1 或y=或y=x3)来判断. 跟踪训练2 (1)函数f(x)=的大致图象是 ( ) 答 ... ...
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