2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修一课时作业：2.2.4 均值不等式及其应用（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修一课时作业：2.2.4 均值不等式及其应用 一、选择题 1．设（m，n为互不相等的正数），，则A与B的大小关系是( ) A. B. C. D. 2．设x，y均为正数，且，则的最小值为( ) A.12 B.20 C.13 D.10 3．设，，且不等式恒成立，则实数k的最小值为( ) A.0 B.4 C. D. 4．若正数x，y满足，则的最小值是( ) A.24 B.28 C.25 D.26 5．已知，则函数的最小值是( ) A.6 B.8 C.12 D.16 6．已知不等式对任意正实数x,y恒成立,则正实数的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.9 7．已知x,y为正实数,且,则的最小值为( ) A.12 B. C. D. 8．已知，，，且，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．已知，，且，则( ) A. B. C. D. 10．已知,,且不等式恒成立,则m的值可以是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 11．设a，b为正数，，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是( ) A. B. C. D. 三、填空题 12．设，，给出下列不等式： ①；②；③；④. 其中恒成立的是_____（填序号）. 13．已知，且，则的最大值为_____. 14．若正数x，y满足，则的最大值为_____. 四、解答题 15．目前电动汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元， （1）求出y关于x的函数关系式； （2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）. 16．设，，.证明： （1）； （2）. 17．已知，，，求证： （1）； （2）. 18．（1）若正数x，y满足，求的最小值； （2）求的最小值. 19．已知，. （1）若，求的最小值及此时a，b的值； （2）若，求的最小值及此时a，b的值； （3）若，求的最小值及此时a，b的值. 参考答案 1．答案：A 解析：因为m，n为互不相等的正数，所以，所以，，所以.故选A. 2．答案：A 解析：因为x，y均为正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选A. 3．答案：C 解析：由，得，即，又（当且仅当时取等号），所以，因此要使恒成立，需，故实数k的最小值为. 4．答案：C 解析：正数x，y满足， ，当且仅当时，等号成立，的最小值是25. 故选C. 5．答案：D 解析：因为，所以， 所以 当且仅当，即时取等号，故选D. 6．答案：D 解析：因为,当且仅当且,时取等号, 所以,整理得,解得,故正实数的最小值为9. 故选:D. 7．答案：C 解析：由,则 , 当且仅当,即,时,等号成立. 故选：C. 8．答案：C 解析：由可得，且 因此， 令，则； 又； 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 故选：C 9．答案：ABD 解析：对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 10．答案：AB 解析：设,,则,,故. 因为,,所以,, 所以,当且仅当时,等号成立.因为恒成立,所以,所以. 11．答案：AC 解析：A选项，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，故A正确； B选项，当，时，，但，故B错误； C选项，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，故C正确； D选项，当，时，，但，故D错误. 故选AC. 12．答案：①②③ 解析：，故①恒成立；，当且仅当，，即时等号成立，故②恒成立； ，当且仅当，即时等号成立，故③恒成立；当时，，故④不恒成立.综上所述，恒成立的是①②③. 13．答案： 解析：由且，可得，则， 所以， 当且仅当即时等号成立，故的最大值为. 14．答案： 解析：因为正数x，y满足，所以，即， 则， 当且仅当且，即，时取等号，故的最小值 ... ...