2024-2025学年高一数学北师大版必修第一册课时优化训练：4.2对数的运算（含解析）

2024-2025学年高一数学北师大版必修第一册课时优化训练：对数的运算 一、选择题 1．设，，则=( ) A. B. C. D. 2．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则( ) A. B. C. D. 3．设，，，则( ) A. B. C. D. 4．已知，若，，则( ) A.6 B.7 C.8 D.9 5．设，，，则( ) A. B. C. D. 6．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是( ) A. B. C. D. 7．已知，则正整数n的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 8．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．若，，则下列等式恒成立的为( ) A. B. C. D. 10．已知正实数a，b满足，且，则的值可以为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 11．若实数a，b满足，则下列关系中可能成立的有( ) A. B. C. D. 三、填空题 12．若,,则_____. 13．今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间t（年）近似满足关系式（k，a为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度c为时，大约需要_____年（最终结果四舍五入，参考数据：，） 14．已知，若，则的最大值为_____. 四、解答题 15．已知函数,. （1）当时,判断函数的奇偶性并证明; （2）给定实数且,问是否存在直线,使得函数的图像关于直线对称 若存在,求出的值（用a表示）;若不存在,请说明理由. 16．已知，，求XYZ的可能取值. 17．（1）计算：； （2）已知，，试用m，n表示. 18．计算： （1） （2）已知，，试用a，b表示. 19．若函数满足下列条件:在定义域内存在,使得成立,则称函数具有性质;反之,若不存在,则称函数不具有性质M. （1）证明:函数具有性质M,并求出相应的; （2）已知函数具有性质M,求实数a的取值范围. 参考答案 1．答案：D 解析：由题意知，， 则， 故选：D. 2．答案：D 解析：由题意，得，.若S不变，则，即，所以. 3．答案：D 解析：由，得， . 由， 比较与4的大小即可； ； ， 即. 故选：D. 4．答案：D 解析：设，由可得：，代入，可得：，即，解得：或（舍去）. 所以，即，又因为，所以，则， 解得：，，所以， 故选：D. 5．答案：A 解析：依题意， 因为， 所以，即，同理可得， 所以， 所以， 又，所以. 故选：A. 6．答案：C 解析：由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C. 7．答案：A 解析：由，则， 因为， 即，又，所以n的最小值为8. 故选：A. 8．答案：D 解析：因为，， 所以 ， 构造函数：，， 易知函数是R上的减函数，且， 由，可知：，则， 又，则，故， 又，则， 所以， 故选：D. 9．答案：BD 解析： A × 令，则. B √ . C × 令，则. D √ . 10．答案：CD 解析：因为，所以，故.设，则，故，解得或2.经检验，1和2均是分式方程的解.当时，，故，，故；当时，，故，，故.故选CD. 11．答案：ABC 解析：当时，，即，故，A正确； 当时，，，故，B正确； 当时，，即，故，C正确； 当时，，，故，D错误； 故选：ABC. 12．答案：100 解析：因为,所以, 又,所以,则. 故答案为：100. 13．答案： 解析：由题意得：，解得，所以， 当时，得，即， 两边取对数得（其中应用换底公式：）. 所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度时，大约需要53年. 故答案是：53. 14．答案： 解析：因为，所以， 所以，， 解得或， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的 ... ...