中小学教育资源及组卷应用平台 专题18 简单的不定方程、方程组 阅读与思考 如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)． 对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数； 2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解． 解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路． 例题与求解 【例1】满足 (0＜＜＜1 998)的整数对(，)共有_____对． (全国初中数学联赛试题) 解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答． 【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( )． A．20张 B．15张 C．10张 D．5张 (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为，，张．根据题意列方程组，整体求出的－值． 【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码． (湖北省武汉市竞赛试题) 解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手． 【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子 (重庆市竞赛试题) 解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解． 【例5】 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每 人有31个核桃，三组的核桃总数是365个．问：三个小组共有多少名同学 (海峡两岸友谊赛试题) 解题思路：根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手． 【例6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车． 问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人 (已知每辆车的容量不多于32人) 解题思路：设原先租客车辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐人，根据题意列出方程求解，注意排除不符合题设条件的解． 能力训练 A级 1．若，则＝_____． 2．已知， (≠0)，则的值等于_____． 3．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是_____岁． (“希望杯”邀请赛试题) 4．已知，，为整数，且，．若＜，则的最大值为_____． (全国初中数学竞赛试题) 5．，都是质数，则方程共有( )． A．1组解 B．2组解 C．3组解 D．4组解 (北京市竞赛试题) 6．如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔 4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开 始．每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在 19千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设 置这两种标志的地点的千米数 是( )． A．32千米 B．37千米 C．55千米 D．90千米 7．给出下列判断： ①不定方程的整数解可表示为 (为整数)． ②不定方程无整数解． ③不定方程无整数解． 其中正确的判断是( )． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8．小英在邮局买了10元的邮票，其中面值0.10元的邮票不少于2枚，面值O.20元的邮票不少于5枚，面值0.50元的邮票不少于3枚，面值 ... ...
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