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课件网) 4.1 条件概率与事件的独立性 4.1.3 独立性与条件概率的关系 【学习目标】 1.了解独立性与条件概率的关系，会求相互独立事件同时发生的概率； 2.能利用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率公式解 决实际问题. 知识点一 两个事件相互独立的充要条件 1.两个事件与独立的充要条件是 . 2.当时，与 独立的充要条件是_____. 知识点二 独立性的性质 1.两个相互独立事件,同时发生,即事件 发生的概率为_____. 这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率等于_____. 2.如果事件与 相互独立,那么_____,_____,_____也都相互独立. 3.一般地,如果事件,, ,相互独立,那么这 个事件同时发生的概率等于 _____. 每个事件发生的概率的乘积 A与 与 与 每个事件发生的概率的乘积 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）对于事件，，若，则事件与 相互独立.( ) × （2）若事件，相互独立，则事件与 也相互独立.( ) √ （3）不可能事件与任何一个事件相互独立.( ) √ （4）必然事件与任何一个事件相互独立.( ) √ 探究点一 相互独立事件的判断 例1 （多选题）[2023·广州越秀区高二期中]， 两个学习小组各有2名男生、 2名女生，从，两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛．事件表示从 组 中选出的是男生小明，事件表示从组中选出的是1名男生，事件表示从 ， 两组中选出的是2名男生，事件表示从， 两组中选出的是1名男生和1名女 生，则( ) BCD A.与独立 B.与独立 C.与独立 D.与 独立 [解析] 由已知得，， ， . ，而，故与不独立. ，而，故与独立. ，而，故与独立. ，而，故与独立.故选 . 变式 [2023·兰州西北师大附中高二期中] 从1，2，3，4，5中任取2个数字， 组成没有重复数字的两位数. （1）写出此试验的样本空间； 解:从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数，则此试验的 样本空间 . （2）求组成的两位数是偶数的概率； 解:设事件表示组成的两位数是偶数，则 ，14，24，32，34，42，52， ，共包含8个样本点，又样本空间中共有20个样本点，所以 . （3）判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否独 立，并说明理由. 解:设事件表示组成的两位数是3的倍数，则 ，15，21，24，42，45， 51，，共包含8个样本点，又样本空间中共有20个样本点，所以 . 因为，24，42，，所以 . 由 ，可得事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的 两位数是3的倍数”不独立． ［素养小结］ 判断两个事件是否相互独立的方法有: （1）当时，利用（或当 时，利用 ）判断事件与 是否相互独立; （2）利用判断事件与 是否相互独立. 探究点二 独立性与条件概率的关系 例2（1） 已知事件与相互独立，，，则 ( ) B A.0.24 B.0.8 C.0.3 D.0.16 [解析] 事件A与B相互独立， ．故选B. （2）甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的 概率分别是和 ，在这个问题至少被一个人正确解答的条件下，甲、乙两位同 学都能正确解答该问题的概率为( ) B A. B. C. D. [解析] 设事件A为“这个问题至少被一个人正确解答”，事件B为“甲、乙两位同 学都能正确解答该问题”.因为甲、乙两位同学能够正确解答该问题的概率分别是 和，所以， ，易知 ，所以 .故选B. 变式 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 “一 个家庭中既有男孩又有女孩”， “一个家庭中最多有一个女孩”.对下述两种情 形，讨论与 的独立性： （1）家庭中有两个小孩； 解：方法一（利用定义）： 有两个小孩的家庭，样本空间为 （男，男），（男，女），（女，男）， （女，女），共有4个样本点，由题得（男，女），（女，男）， （男， ... ...
