中小学教育资源及组卷应用平台 专题突破七：勾股定理之折叠问题（20道） 一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，） 1．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可 【详解】解：根据折叠，可知 ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，得 解得， 所以，的长为， 故选：C 2．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为( ) A．6 B．10 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 3．如图，在等腰直角三角形纸片中，，D是的中点，将 ABC折叠，使点A与点D重合，为折痕．若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查翻折的性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，再由等腰直角三角形确定，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是翻折而成， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 设，则， ∴在中， 由勾股定理得，，即， 解得：， 故选：C． 4．如图，在中，∠B=90°，，．将 ABC折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（ ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的方程是解题的关键． 设，由翻折的性质可知，在中利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设， 由翻折的性质可知， ∵D是的中点， ， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：， ∴， 故选：C． 5．如图，已知在中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则 的值为 （ ） A． B．+ C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键；由折叠的性质可知，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故选C． 6．如图， ABC中，，点P为上一个动点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点Q，当点Q落在 ABC内部（不包括边上）时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，再作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，结合点落在内部（不包括边上），即可得到的取值范围． 【详解】解：过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，则点落在边上， , ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，则点落在边上， ， ∵由折叠可知：， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点落在内部（不包括边上）时， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称中的折叠问题、含角的直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形的判定，熟知折叠前后两个三角形全等是解答本题的关键． 7．如 ... ...
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