§3 抛物线 3.1 抛物线及其标准方程 【学习目标】 1.了解抛物线的实际背景. 2.经历从具体情境中抽象出抛物线的过程. 3.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程. 【课前预习】 ◆ 知识点一 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线.这个定点F叫作抛物线的 ,这条定直线l叫作抛物线的 . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x=-2的距离相等,则点P的轨迹是抛物线. ( ) (2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x+y-1=0的距离相等,则点P的轨迹是抛物线. ( ) (3)若点P到点F(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小1,则点P的轨迹是抛物线. ( ) ◆ 知识点二 抛物线的标准方程 焦点在x轴的正半轴上,且焦点的坐标是的抛物线的标准方程为 (p>0),它的准线方程是x=-,其中p是抛物线的焦点到准线的距离. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数. ( ) (2)原点到抛物线的准线的距离是p. ( ) (3)抛物线的开口方向由方程中的一次项确定. ( ) 【课中探究】 ◆ 探究点一 抛物线的定义 例1 (1)(多选题)若动点M(x,y)到定点的距离与它到定直线的距离相等,则点M的轨迹可以是 ( ) A.抛物线 B.双曲线 C.圆 D.直线 (2)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,若点A(,2)在C上,则|AF|= ( ) A. B. C. D. (3)已知动点P的坐标(x,y)满足5=|3x+4y-7|,则动点P的轨迹是 ( ) A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 变式 (1)过点F(0,4)且与直线y+4=0相切的动圆圆心的轨迹为 ( ) A.抛物线 B.双曲线 C.圆 D.直线 (2)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点M在C上,点N在准线l上,且MN平行于x轴,若|NF|=|MN|,则|MF|= ( ) A. B.1 C. D.4 [素养小结] 抛物线上任意一点到抛物线的焦点的距离等于它到抛物线的准线的距离,因此,由抛物线的定义可以实现点到点距离与点到线距离的相互转化,从而简化某些问题. 拓展 (1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C的准线l上,线段MF与y轴交于点A,与抛物线C交于点B,若|MA|=3|AB|=3,则p= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知P是抛物线y2=4x上的一个动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是 ( ) A. B. C.2 D.-1 ◆ 探究点二 抛物线的标准方程 例2 过点(1,-2)的抛物线的标准方程是 . 变式 (1)若抛物线y2=2px(p>0)上的点M(3,y)到焦点的距离是4,则该抛物线的标准方程为 ( ) A.y2=2x B.y2=4x C.y2=8x D.y2=12x (2)焦点在直线2x+5y-10=0上的抛物线的标准方程为 . [素养小结] 求抛物线标准方程的主要方法是待定系数法和定义法,注意不要混淆抛物线的焦点的位置和方程的形式. §3 抛物线 3.1 抛物线及其标准方程 【课前预习】 知识点一 焦点 准线 诊断分析 (1)√ (2)× (3)√ 知识点二 y2=2px 诊断分析 (1)× (2)× (3)√ 【课中探究】 例1 (1)AD (2)C (3)D [解析] (1)若定点不在定直线上,则由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线;若定点在定直线上,则点M的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.故选AD. (2)方法一:因为点A(,2)在C上,所以()2=2p·2,得p=,所以抛物线的准线方程为y=-.由抛物线的定义知,|AF|等于点A到准线的距离,即|AF|=2+=. 方法二:因为点A(,2)在C上,所以()2=2p·2,得p=,所以F,所以|AF|2=()2+=2+=,则|AF|=,故选C. (3)由5=|3x+4y-7|,得=,即动点P(x,y)到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-7=0的距离相等,又易知点(2,1)不在直线3x+4y-7=0上,所以由抛物线的定义知,动点P的轨迹为抛物线.故选D. 变式 (1)A (2)D [解析] (1)由题意可得,动圆的圆心到直线y=-4的距离与到 ... ...
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