§4 向量在立体几何中的应用 4.1 直线的方向向量与平面的法向量 【学习目标】 1.能用向量语言描述直线和平面. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量. ◆ 知识点一 空间元素的向量表示 1.空间中点的向量表示 如图,在空间中取一个 ,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示,向量就是点P的 . 2.直线的方向向量与直线的向量表示 (1)直线的方向向量:如图所示,设A,B是直线l上不重合的任意两点,称为直线l的 .显然,一条直线有 方向向量,与平行的 也是直线l的方向向量. (2)直线的向量表示:如图,已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量.那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得 .反之,由几何知识不难确定,满足上式的点P一定在直线l上.因此,我们把这个式子称为 . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. ( ) (2)若A(2,1,1),B(1,2,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(-2,2,2). ( ) ◆ 知识点二 点在直线上的充要条件 点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O,存在实数t使得= . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若空间中的点P满足=+t,则点P在直线AB上. ( ) (2)若A(2,1,1),B(1,2,2)在直线l上,则点 C(-2,3,-2)也在直线l上. ( ) ◆ 知识点三 平面的法向量及其求法 1.平面的法向量 平面的法向量 如果一条直线l与一个平面α ,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量 确定平面位置 如图,过点A且以向量a为法向量的平面可以表示为集合 在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤 (1)设平面的法向量为n=(x,y,z); (2)找出(求出)平面内的两个 的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2); (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (4)解方程组,取其中的 ,即得平面的一个法向量 2.平面α的方程 设平面α内一点M(x0,y0,z0),平面α的法向量n=(A,B,C),则对于平面α内任意一点P(x,y,z),有·n=0,则平面α的方程为 . 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) 若向量n1,n2为同一平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行. ( ) 2.平面的法向量有几个 它们的关系是怎样的 ◆ 探究点一 直线的方向向量 例1 (1)若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 ( ) A.(1,2,4) B.(1,4,2) C.(2,1,4) D.(4,2,1) (2)(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上不与C1,C重合的任意一点,则能作为直线AA1的方向向量的是 ( ) A. B. C. D. 变式 从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段长||=34,则点B的坐标为 ( ) A.(18,17,-17) B. (-14,-19,17) C. D. [素养小结] 求直线的方向向量的关键是找到直线上的两个点,然后用所给的基向量表示以这两个点为起点和终点的向量.直线的方向向量不唯一. 拓展 下列直线的方向向量的坐标具有什么特征 (1)平行于各坐标轴的直线; (2)平行于xOy平面的直线(该直线与x轴、y轴都不平行). ◆ 探究点二 点在直线上的充要条件 例2 已知空间三点A(0,1,2),B(1,3,5),C(2,5,4-k)在一条直线上,则实数k的值是 ( ) A.2 B.4 C.-4 D.-2 变式 (1)在空间直角坐标系中,已知点A(1,1,0),B(2,3,3),C(0,1,2),点D为直线AB上的一点,且CD⊥AB,则= . (2)在四面体OABC中,点M,N分别为OA,BC的中点,若=+x+y,且G,M,N三点共线,则x+y= . [素养小结] 求解与A,B,C三点共线有关的参数问题的一般步骤: ①由点在直线上的充要条件列出等式:=(1-t)+t. ②将A,B,C ... ...
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