4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系 第1课时 用向量方法研究立体几何中的平行关系 【学习目标】 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行的判定定理. ◆ 知识点 用空间向量描述空间线面的平行 关系 设不重合的直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,不重合的平面α,β的法向量分别为n1,n2,则 平行关系 对应线面 图形 满足条件 线线 平行 l1与l2 l1∥l2 λ∈R,u1= (续表) 平行关系 对应线面 图形 满足条件 线面平行 l1与α(l1 α) l1∥α u1·n1= 面面平行 α与β α∥β λ∈R,n1= 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反. ( ) (2)若一条直线的方向向量与一个平面的法向量垂直,则该直线与平面平行. ( ) (3)若两条不同的直线l1,l2的方向向量分别为a=(3,1,-2),b=(-6,-2,4),则l1∥l2. ( ) (4)若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行. ( ) ◆ 探究点一 空间向量与平行关系 例1 (1)设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为b,若a·b=0,则 ( ) A.l∥α B.l α C.l⊥α D.l α或l∥α (2)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B,AC的中点, 则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 (3)若直线l的一个方向向量为m,平面α的一个法向量为n,则可能使l∥α的是 ( ) A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.m=(0,2,1),n=(-1,0,1) C.m=(1,-1,3),n=(0,3,1) D.m=(1,2,3),n=(1,0,1) 变式 (1)已知直线l的方向向量e=(1,-2,-2),平面α的法向量n=(2,λ,-1).若l∥α,则λ= . (2)若平面α的一个法向量为m=,平面β的一个法向量为n=,α∥β,则实数z= . [素养小结] 利用空间向量判断立体几何中的平行关系的解题思路. (1)判断两直线平行:找到两直线的方向向量a,b,判断是否存在实数λ,使得b=λa. (2)判断线面平行:找到直线的方向向量a和平面的法向量b,判断这两个向量是否垂直,即判断a·b是否为0. (3)判断面面平行:找到两个平面的法向量i,j,判断这两个向量是否平行,即判断是否存在实数λ,使得i=λj. ◆ 探究点二 利用空间向量证明平行关系 例2 如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点. (1)求证:FC1∥平面ADE; (2)求证:平面ADE∥平面B1C1F. 变式 如图,已知点P是正方形ABCD所在平面外一点,点M,N分别是PA和BD上的点,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.求证:直线MN∥平面PBC. [素养小结] 空间平行关系的解题策略 几何法 向量法 线线 平行 对于直线l,m,n和平面α,β, (1)若l∥m,l∥n,则m∥n; (2)若l⊥α,m⊥α,则l∥m; (3)若l∥α,l β,α∩β=m,则l∥m 若直线l,m的方向向量共线,则l∥m 线面 平行 对于直线m,n和平面α, (1)若m⊥α,m⊥n,n α,则n∥α; (2)若m α,n α,m∥n,则m∥α 若直线l的方向向量与平面α的法向量垂直且l α,则l∥α 面面 平行 对于直线l,m和平面α,β, (1)若l α,m α,l∥β,m∥β,且l∩m=A,则α∥β; (2)若l⊥α,l⊥β,则α∥β 若平面α,β的法向量共线,则α∥β 拓展 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,D,E分别是棱BC,CC1上的点,且AD⊥BC. (1)求证:直线A1F∥平面ADE. (2)若△ABC是正三角形,E为C1C的中点,能否在棱B1B上找到一点N,使得A1N∥平面ADE 若存在,确定该点的位置;若不存在,请说明理由. 4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系 第1课时 用向量方法研究立体几何中的平行关系 【课前预习】 知识点 u1∥u2 λu2 u1⊥n1 0 n1∥n2 λn2 诊断分析 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 【课中探究】 例1 (1)D ... ...
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