第2课时 用向量方法研究立体几何中的垂直关系 【学习目标】 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直的判定定理. ◆ 知识点一 用空间向量描述空间线面的垂直 关系 设不重合的两条直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,不重合的两个平面α,β的法向量分别为n1,n2,则 垂直关系 对应线面 图形 满足条件 线线 垂直 l1与l2 l1⊥l2 线面 垂直 l1与α l1⊥α λ∈R, 面面 垂直 α与β α⊥β 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两条直线的方向向量垂直,则这两条直线垂直. ( ) (2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同时,直线与平面垂直. ( ) (3)两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直. ( ) (4)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则l1⊥l2. ( ) ◆ 知识点二 三垂线定理及其逆定理 三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的 垂直,则它也和 垂直. 三垂线定理的逆定理:若平面内的一条直线和这个平面的 垂直,则它也和 垂直. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)三垂线定理及其逆定理说明的是平面内的一条直线、平面的一条斜线和该斜线在平面内的投影三者之间的关系. ( ) (2)三垂线定理及其逆定理可以直接由线线垂直得到线线垂直. ( ) ◆ 探究点一 空间向量与垂直关系 例1 (1)已知非零向量a,b,c分别为直线a,b,c的方向向量,且a=λb(λ≠0),b·c=0,则a与c的位置关系一定是 ( ) A.垂直 B.平行 C.相交 D.异面 (2)若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则 ( ) A.α∥β B.α⊥β C.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确 变式 (1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直 (2)在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且 |n|=,则n的坐标为 . [素养小结] 在探究空间的垂直关系时,通常的做法是看到直线找直线的方向向量,看到平面找平面的法向量,然后通过已知条件得到直线的方向向量与直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、平面的法向量与平面的法向量之间的关系,从而确定线线、线面、面面之间的位置关系. ◆ 探究点二 利用空间向量证明垂直关系 例2 如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,设P为AC的中点,Q在棱AB上且AB=3AQ,求证:PQ⊥OA. 变式 某三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为△A1B1C1,已知∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1. [素养小结] 空间垂直关系的解题策略 几何法 向量法 线线 垂直 (1)证明两直线所成的角为90°; (2)若直线与平面垂直,则此直线与平面内所有直线垂直 证明两直线的方向向量互相垂直 线面 垂直 对于直线l,m,n和平面α, (1)若l⊥m,l⊥n,m α,n α,m与n相交,则l⊥α; (2)若l∥m,m⊥α,则l⊥α (1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直; (2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量 面面 垂直 对于直线l,m和平面α,β, (1)若l⊥α,l β,则α⊥β; (2)若l⊥α,m⊥β,l⊥m,则α⊥β 证明两个平面的法向量互相垂直 拓展 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BC的中点. (1)在B1B上是否存在一点P,使D1P⊥平面B1AE (2)在平面AA1B1B内是否存在一点N,使D1N⊥平面B1AE ◆ 探究点三 ... ...
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