第2课时 点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式 【学习目标】 1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式. 2.会求两条平行直线间的距离. 【课前预习】 ◆ 知识点一 点到直线的距离公式 已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0),则点P到直线l的距离d= . 证明点到直线距离的方法如下: 1.定义法 根据定义,点P到直线l的距离就是点P到直线l的垂线段的长.如图,过点P(x0,y0)作直线l:Ax+By+C=0(A≠0)的垂线l',垂足为Q,由l'⊥l可知l'的斜率为 ,∴l'的方程为y-y0=(x-x0),与l的方程联立,得交点Q,∴|PQ|=. 可以验证,当A=0时,上述公式仍然成立. 2.向量法 如图,设直线l:Ax+By+C=0的一个法向量为n=(A,B),M(x1,y1)为直线l上任意一点,P(x0,y0),则=(x1-x0,y1-y0).从而点P到直线l的距离d= == . ∵点M在直线l上,∴Ax1+By1+C=0,从而d==. 【诊断分析】 (1)点P(-1,0)到直线l:x+y-4=0的距离为 . (2)点P(x0,y0)到直线y=a的距离为 . ◆ 知识点二 两条平行直线间的距离 1.定义:夹在两条平行直线间的 的长,称为两条平行直线间的距离. 2.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(其中A,B不全为0,且C1≠C2)之间的距离d= . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)已知直线l1:x=x1,l2:x=x2,则直线l1,l2间的距离为|x2-x1|. ( ) (2)已知两条平行直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则直线l1,l2间的距离为. ( ) 【课中探究】 ◆ 探究点一 点到直线的距离公式 例1 (1)在平面直角坐标系中,点P(0,-1)到直线y=x-3的距离为 ( ) A.1 B. C.2 D. (2)点P0(0,2)到直线y=3的距离是 . 变式 (1)(多选题)已知点(1,m)到直线x+y-2=0的距离等于1,则m的值可以是 ( ) A.1- B.1+ C.-1 D.3 (2)垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是的直线l的方程是 . [素养小结] 求点到直线的距离的方法 (1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接应用点到直线的距离公式求解即可. (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点P(x0,y0)到它们的距离时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接写成d=|x0-a|或d=|y0-b|. (3)已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可. ◆ 探究点二 两条平行直线间的距离公式 例2 平行直线l1:3x-4y+10=0与l2:6x-8y-5=0之间的距离为 ( ) A. B. C. D. 变式 (1)已知直线l与两平行直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0之间的距离相等,则l的方程为 . (2)已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)的两条平行直线,当l1,l2间的距离为时,直线l1的方程是 . (3)[2024·甘肃白银高二期末] 若直线l被两平行直线l1:x+y+2=0与l2:x+y-2=0所截的线段的长为2,则直线l的倾斜角为 ( ) A.165°或75° B.85°或45° C.150°或30° D.75°或85° [素养小结] 求两平行直线间的距离一般有两种方法: (1)转化法:将两平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于结果与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算. (2)公式法:直接用公式d=,但要注意两直线方程中x,y的系数对应相等. ◆ 探究点三 最值问题 例3 (1)已知实数x,y满足3x-4y-6=0,则的最小值为 ( ) A.2 B. C. D. (2)已知实数x,y满足xsin α+ycos α=3,则x2+y2的最小值为 . 变式 (1)已知点(3,4)在直线ax+by-10=0(a,b∈R)上,则点(a,b)到原点的距离的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)点P(a,b)到直线l1:5x-12y-6=0和直线l2:5x-12y+20=0的距离之差的绝对值的取 ... ...
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