专题2.9 根的判别式与根与系数的关系（知识梳理与考点分类讲解）（北师大版）（含答案） 2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.9 根的判别式与根与系数的关系（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 1. 一元二次方程根的判别式 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 【知识点二】一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况 【例1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）不解方程，判断下列方程根的情况： (1) (2) (3) 【变式1】（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）学完一元二次方程根的判别式后，小凡不解方程，很快判断出下列一元二次方程中有一个方程没有实数根，这个一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 【变式2】不解方程，判断方程的根的情况 【题型2】已知方程根的情况确定参数的取值范围 【例2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程有实数根，求的取值范围． 【变式1】（2024·广东东莞·三模）若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A．且 B． C． D．且 【变式2】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若方程的有两个相等的实数根，则 ． 【题型3】由一元二次方程根的判别式进行证明 【例3】（23-24九年级上·福建漳州·期中）某班学习小组研究关于x的一元二次方程时，组员将k取不同值进行研究，发现无论k为何值，都有以下结论． （1）方程一定有实数根，请你加以证明； （2）方程有一个根是固定数值，请你说出这个根_____，并加以证明． 【变式1】（22-23九年级上·河南平顶山·期中）已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式2】以m= 为反例，可以证明命题“关于x的一元二次方程x2+x+m=0必有实数根”是错误的命题（写出一个m值即可）． 【题型4】由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值 【例4】（23-24九年级上·河南周口·期末）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式1】（23-24九年级上·四川达州·期末）设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（ ） A． B． C．10 D．11 【变式2】（2024·湖北十堰·二模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【题型5】利用一元二次方程的根与根与系数关系求代数式的值 【例5】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知：，且，求的值． 【变式1】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）设是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2013 B．2012 C．2011 D．2010 【变式2】（2023·湖南怀化·模拟预测）已知、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【题型6】根的判别式与根与系数关系 ... ...