第2课时 充要条件 【学习目标】 1.理解充要条件的定义,掌握充分、必要条件的四种类型. 2.会判断条件和结论的关系. 3.通过判断p与q的关系引导充要条件的定义,由诱导探究的方法归纳出判断“p是q的什么条件”的步骤及方法(定义法、集合法、传递法). ◆ 知识点 充要条件 1.一般地,如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的 ,记作p q. p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”. 当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件. 2.如果p q,q / p,则称p是q的充分不必要条件; 如果p / q,q p,则称p是q的必要不充分条件; 如果p / q,q / p,则称p是q的既不充分也不必要条件. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x=y=0”是“x2+y2=0”的充要条件. ( ) (2)若“p不能推出q”和“q不能推出p”有一个成立,则p一定不是q的充要条件. ( ) ◆ 探究点一 充要条件的判定 例1 (1)设A,B是两个集合,则“A B”是“A∪B=B”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(多选题)[2024·广东东莞东华高级中学月考] 下列四个选项中,p是q的充要条件的有( ) A.p:三角形是等腰三角形,q:三角形存在两角相等 B.p:两个三角形全等,q:两个三角形的三边分别相等 C.p:xy>0,q:x>0,y>0 D.p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分 [素养小结] 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法:即利用集合之间的包含关系判断. (3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1 p2 … pn,可得p1 pn;充要条件也有传递性. ◆ 探究点二 根据充要条件求参数 例2 求“关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0有两个不同的正根”的充要条件.(附:由a2-12a+20>0,得a<2或a>10) 变式 [2024·河北邢台翰林中学高一月考] 若集合A={-2,m2},集合B={2,4},则“A∩B={4}”的充要条件是 . [素养小结] p是q的充要条件意味着“p成立则q成立;p不成立则q不成立”.已知两个条件为充要条件求参数的值,通常转化为两个集合相等列方程(组)来求解. ◆ 探究点三 充要条件的证明 例3 求证:“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1”的充要条件是“a+b+c=0”. 变式 在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,求证:“a2-b2-ac+bc=0”的充要条件是“∠A=∠B”. [素养小结] 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件.证明充要条件要分两个环节:一是证明充分性成立;二是证明必要性成立. 第2课时 充要条件 【课前预习】 知识点 1.充要条件 诊断分析 (1)√ (2)√ [解析] (1)若x=y=0成立,则x2+y2=0成立;若x2+y2=0成立,则x=y=0成立.故(1)正确. (2)当p q且q p时,p才是q的充要条件,故(2)正确. 【课中探究】 探究点一 例1 (1)C (2)AB [解析] (1)由A∪B=B可得A B,由A B可得A∪B=B,所以“A B”是“A∪B=B”的充要条件.故选C. (2)若三角形是等腰三角形,则该三角形的两底角相等;反之,当三角形中有两角相等时,这两角所对的边相等,即该三角形为等腰三角形,所以“三角形是等腰三角形”是“三角形存在两角相等”的充要条件,故A正确.若两个三角形全等,则两个三角形的三边分别相等;反之,若两个三角形的三边分别相等,则这两个三角形全等.所以“两个三角形全等”是“两个三角形的三边分别相等”的充要条件,故B正确.当xy>0时,可能x<0,y<0或者x>0,y>0,故“xy>0”不是“x>0,y>0”的充要条件,故C错误.正方形的对角线互相垂直且平分,但是对角线互相垂直且平分的四边形可以是任意的菱形,不一定是正方形,故“四边形是正方形”不是“四边形的对角线互相垂直且平分”的充要条件,故D错误.故选AB. 探究 ... ...
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