第三章 指数运算与指数函数 §1 指数幂的拓展 【学习目标】 1.理解分数指数幂的概念,会进行分数指数幂与根式的互化. 2.了解无理数指数幂的概念,了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近得到的思想方法. 3.通过指数幂的拓展的学习,培养逻辑推理的核心素养;通过分数指数幂与根式的互化,培养数学运算的核心素养. ◆ 知识点一 分数指数幂 1.正分数指数幂的定义:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b= ,这就是正分数指数幂. 2.负分数指数幂的定义:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义==. 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)=. ( ) (2)若(1-2x有意义,则x≠. ( ) (3)分数指数幂(a>0)可以理解为个a相乘. ( ) 2.根式(n∈N+)一定有意义吗 ◆ 知识点二 无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的正实数.至此,指数幂aα中指数的取值范围扩充为R. ◆ 探究点一 根式与分数指数幂 例1 (1)(多选题)下列各式中,根式化成分数指数幂的形式正确的是 ( ) A.=(a>0) B.==(a>0) C.=y3(y>0) D.=a3(a>0) (2)将-(x>0)表示为根式的形式为 . 变式 (多选题)[2024·四川南充高级中学高一月考] 已知xy≠0,且=-3xy2,则下列不等关系可能成立的是 ( ) A.x>0,y>0 B.x<0,y<0 C.x>0,y<0 D.x<0,y>0 [素养小结] (1)根式与分数指数幂互化的规律:根指数指数位置分数的分母,被开方数(式)的指数指数位置分数的分子. (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题. ◆ 探究点二 化简、求值 例2 化简: (1); (2)(x0,即x<. (3)分数指数幂不可以理解为个a相乘,其实质是一个数. 2.解:①若n为奇数,则对任意的实数a,都有意义; ②若n为偶数,则当a≥0时,才有意义,当a<0时,没有意义. 【课中探究】 探究点一 例1 (1)ABD (2)- [解析] (1)==(y>0),C错误,易知A,B,D正确.故选ABD. (2)由分数指数幂的意义可知,-=-. 变式 BD [解析] 因为=3|x|·y2,且=-3xy2,所以3|x|·y2=-3xy2,故x<0,又xy≠0,所以y>0或y<0.故选BD. 探究点二 例2 解:(1)=-0.1. (2)因为x
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