第2课时 对数函数y=logax的性质与应用 【学习目标】 1.通过对数函数图象和性质的应用,体会数学抽象素养. 2.通过数形结合思想的应用,提升直观想象素养. ◆ 知识点 与对数函数有关的复合函数的综合 问题 对于函数y=logaf(x),它是由t=f(x),y=logat两个函数复合而成的,其单调性由t=f(x),y=logat的单调性决定,当两个函数在定义域内单调性相同(反)时,函数y=logaf(x)在定义域内是增(减)函数,即“同增异减”.而值域则往往先求出t=f(x)的值域再根据y=logat的单调性求解. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=log2(1-x)在R上单调递减. ( ) (2)函数y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上单调递增. ( ) ◆ 探究点一 与对数函数有关的复合函数的单调性 例1 (1)函数f(x)=lo(x2+2x-8)的单调递增区间为 ( ) A.(-1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,-4) D.(-∞,-1) (2)已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,4] B.(-∞,2] C.(-4,4] D.(-4,2] 变式 (1)[2024·海南中学高一月考] 函数f(x)=lg(x2-2x-8)的单调递增区间是 ( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) (2)若函数f(x)=ln(x2-2ax-a)在(-∞,-2]上单调递减,则实数a的取值范围为 ( ) A. B.[-2,+∞) C. D.(-∞,-2] [素养小结] 求形如y=logaf(x)的函数的单调区间时,首先要求出函数的定义域,再研究函数t=f(x)和函数y=logat在定义域上的单调性,最后判断出函数的单调区间. ◆ 探究点二 与对数函数有关的值域和最值 [提问] 求函数y=的定义域时要考虑哪些方面 例2 (1)求下列函数的值域: ①y=;②y=log0.5(x2+2x+5). (2)求函数y=(lox)2-2lox+5在[2,4]上的最大值和最小值. 变式 (1)已知函数f(x)=log2x·log2(2x),x∈,则函数f(x)的最大值为 ,最小值为 . (2)若函数f(x)=lg(2x+2-x+a-1)的值域是R,则实数a的取值范围是 . [素养小结] 求与对数函数有关的函数的值域时,要先求出函数的定义域,明确真数的取值范围,再利用函数的单调性求解. ◆ 探究点三 与对数函数有关的复合函数的奇偶性 例3 已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1,b≠-2)是定义在(-2,2)上的奇函数. (1)求f(0)和实数b的值; (2)若f(x)满足f(t2-2)+f(3t-2)<0,求实数t的取值范围. 变式 (1)(多选题)函数f(x)=ln(x+1)-ln(1-x),则下列说法正确的是 ( ) A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的图象关于原点对称 C.函数f(x)在定义域上为增函数 D.函数f(x)在定义域上为减函数 (2)若函数f(x)=lg|x+a|是偶函数,则a= . (3)已知函数f(x)=log5(-2x),实数m,n满足f(4m-2)+f(n)=0,则4m+n= . [素养小结] 要判断函数的奇偶性,首先应求出定义域,看函数的定义域是否关于原点对称.对于形如f(x)=logag(x)的函数,利用f(-x)±f(x)=0来判断奇偶性较简便. ◆ 探究点四 与指数、对数型函数有关的实际问题 例4 风光秀丽的千岛湖盛产鳙鱼,记鳙鱼在湖中的游速为v m/s,鳙鱼在湖中的耗氧量的单位数为x,已知鳙鱼的游速v与log2(x≥100)成正比,当鳙鱼的耗氧量为200单位时,其游速为 m/s.若某条鳙鱼的游速提高了1 m/s,则它的耗氧量的单位数是原来的 ( ) A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 变式 某工厂产生的废气必须经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P=P0·ekt,其中e是自然对数的底数,k为常数,P0为原污染物总量.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,则k= ;要能够按规定排放废气,还需要过滤n小时,则正整数n的最小值为 .(参考数据:log52≈0.43) [素养小结] 与指数、对数型函数有关的实际问题,关键是要认真 ... ...
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