§4 向量在立体几何中的应用 4.1 直线的方向向量与平面的法向量 一、选择题 1.下列说法错误的是 ( ) A.若直线l垂直于平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量 B.若n是平面α的一个法向量,则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直 C.零向量是任意一个平面的一个法向量 D.一个平面的法向量是不唯一的 2.已知点P(0,1,0),Q(-2,0,1),则直线PQ的一个方向向量的坐标可以为 ( ) A.(-2,-1,-1) B.(1,-2,1) C.(4,2,-2) D.(4,-2,2) 3.已知平面α内有一个点M(1,-1,2),平面α的一个法向量是n=(2,-1,2),则下列点中,在平面α内的是 ( ) A.P(2,3,3) B.N(-2,0,1) C.G(-4,4,0) D.S(3,-3,4) 4.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=1,PA=2,以A为原点建立空间直角坐标系,n为平面PBC的法向量,则n的坐标可能是 ( ) A. B. C. D. 5.在空间直角坐标系中,过点P0(1,2,1)且一个法向量为u=(-2,1,3)的平面的方程为 ( ) A.x+2y-z+3=0 B.2x-y-3z-3=0 C.x+2y+z-3=0 D.2x-y-3z+3=0 6.已知=(1,3,-2),=(3,1,-2),=(-1,0,2),则平面ABC的法向量与的夹角的余弦值为 ( ) A. B.或- C. D.或- 7.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,几何体ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列结论中正确的是 ( ) A.直线DD1 的一个方向向量为(0,0,1) B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1) 8.(多选题)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=60°,PA=AB=2,以B为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设平面PAB和平面PBC的法向量分别为m,n,则下列结论中不正确的是 ( ) A.点P的坐标为(0,0,2) B.=(4,0,-2) C.cos>0 D.n的坐标可以为(0,-2,2) 二、填空题 9.[2024·辽宁抚顺高二期中] 在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).向量n为平面ABC的一个法向量,则n的坐标可以为 . 10.已知直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z= . 11.已知a=(1,2,1)是平面β的一个法向量,若直线m与平面β垂直,则直线m的单位方向向量b= . 12.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),给出下列结论: ①AP⊥AB; ②AP⊥AD; ③是平面ABCD的法向量; ④∥. 其中正确结论的序号是 . 三、解答题 13.已知A(1,2,3),B(1,-1,-2),C(-1,0,0). (1)写出直线BC的一个方向向量; (2)设平面α经过点A,且是α的一个法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,试写出x,y,z满足的关系式. 14.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=,建立如图所示的空间直角坐标系.求: (1)平面ACE的一个法向量; (2)直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量. 15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=,=2,=,以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系.Q为空间内一点,且·=0,则点Q的轨迹方程为 . 16.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=AD=DC,底面ABCD为正方形,E为PC的中点,点F在棱PB上,问点F在何位置时,为平面DEF的一个法向量 §4 向量在立体几何中的应用 4.1 直线的方向向量与平面的法向量 1.C [解析] 对于A,根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知,若直线l垂直于平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量,A中说法正确;对于B,由平面的法向量的定义可知,若n是平面α的一个法向量,则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直,B中说法正确;对于C,由平面的法向量的定义可知,零向量不能是平面的法向量,C中说法错误;对于D,由平面的法向量的定义可知,一个平面的法向量是不唯一的, ... ...
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