2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 7.3 复数的三角表示（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 7.3 复数的三角表示 一、选择题 1．将复数化成代数形式，正确的是( ) A.4 B.-4 C. D. 2．复数的辐角主值是( ) A. B. C. D. 3．复数的辐角主值是( ) A. B. C. D. 4．已知：棣莫弗公式（i为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5．已知，，则( ) A. B. C. D. 6．如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的( ) A.辐角唯一 B.辐角主值唯一 C.辐角主值为 D.辐角主值为 二、多项选择题 7．欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：（把称为复数的三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度r叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数，，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是( ) A.若，则有 B.若，，则 C.若，则 D.设，则在复平面上对应的点在第一象限 8．已知i是虚数单位，下列说法正确的是( ) A.已知，若，，则 B.复数，满足，则 C.复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线 D.复数z满足，则 三、填空题 9．已知平面直角坐标系中向量的旋转和复数有关,对于任意向量,对应复数,向量逆时针旋转一个角度,得到复数,于是对应向量.这就是向量的旋转公式.已知正三角形的两个顶点坐标是,,根据此公式,求得点C的坐标是_____.（任写一个即可） 10．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：.据此公式，复数的虚部为_____. 11．设复数z的辐角是，实部是－2，则z=_____. 四、解答题 12．设. (1)求证： (2)求证： (3)在复数范围内，解方程 13．已知复数,的实部分别为，,虚部分别为，,其中. （1）求的取值范围； （2）能否为纯虚数，若能，求；若不能，请说明理由. 参考答案 1．答案：D 解析： 故选：D. 2．答案：B 解析：由辐角主值的定义，知复数的辐角主值是. 故选：B. 3．答案：D 解析：， ，， 辐角主值， 故选：D. 4．答案：B 解析：由， 所以， 复数在复平面内所对应的点的坐标为，， ， 所以，， 复数在复平面内所对应的点位于第二象限. 故选：B. 5．答案：D 解析： . 故选：D. 6．答案：B 解析：辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值， 非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值. 故选：B. 7．答案：AC 解析：对于A，，故A正确； 对于， 由棣莫弗定理可知，两个复数，相乘，所得到的复数的辐角是复数，的辐角之和，模是复数，的模之积， 所以的辐角是复数z的辐角的n倍，模是，故C正确； 对于， ，所以，故B错误； 对于， 设，故， 故复数在复平面上所对应的点为，不在第一象限，故错误. 故选：AC. 8．答案：BCD 解析：对A，虚数不能比较大小，可知A错误； 对B，根据共轭复数的定义知，当时，， 则，故B正确； 对C，因为复数z满足， 则复数在复平面上对应的点到，两点间的距离相等， 则复数z在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线， 即z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C正确； 因为， 则， 又， 故D正确， 故选：BCD. 9．答案：（答案不唯一） 解析：设点C的坐标为,点,,则,, 从而对应的复数为, 若由逆时针旋转得到,对应的复数为, 因此,解得,, 则C的坐标是； 若由逆时针旋转得到,对应的复数为, 因此,解得, 则点C的坐标是. 10．答案： 解析：， 故其虚部为. 故答案为：. 11．答案： 解析：由复数，则 所以 故答案为: 12．答案：(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 解析：(1)因为 所以 (2)因为 所以 所以 (3) 令则 故故 故 故或或 13．答案：（1） （2）不能，理由见解析 解析：（1）由复数,的实部分别为，,虚部分别为，, 可得，,, 可得， 因此的取值范围是. （2）因，,, 所以， 因 ... ...