第2课时 平面与平面垂直的性质 【学习目标】 1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面垂直的性质定理,并能够证明. 2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. ◆ 知识点 平面与平面垂直的性质定理 1.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面 a⊥α 面面垂直 线面垂直 2.面面垂直的性质定理的作用: (1)判定直线与平面垂直; (2)由平面外一点作平面的垂线时,确定垂足的位置. 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若两个平面垂直,则两个平面内任意两条直线互相垂直. ( ) (2)若平面α⊥平面β,α∩β=l,b⊥l,则b⊥β. ( ) 2.黑板所在平面与地面所在平面垂直,如何在黑板上画一条直线与地面垂直 ◆ 探究点一 面面垂直的性质定理的应用 例1 如图,在三棱锥P-ABC中,△PAC为正三角形,AB⊥AC,平面PAB⊥平面PAC.求证:AB⊥平面PAC. 变式 如图所示,四边形ABCD是矩形,AB=2BC,E为CD的中点,以BE为折痕将△BEC折起,使C到达C'的位置,且平面BEC'⊥平面ABED,得到四棱锥C'-ABED. (1)求证:AE⊥BC'; (2)求二面角C'-AE-B的余弦值. [素养小结] 当利用面面垂直的性质定理证明线面垂直问题时,要注意以下三点:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于两平面的交线. ◆ 探究点二 线线、线面、面面垂直的综合应用 例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,N,M分别为AB,CC1的中点,且AB=AC. (1)证明:CN⊥平面ABB1A1. (2)证明:平面AMB1⊥平面ABB1A1. 变式 如图①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=1,BC=2,E,F分别为腰AD,BC的中点,H,M分别为EF,AB的中点.将四边形CDEF沿EF折起,使平面EFC'D'⊥平面ABFE,如图②. (1)求证:MH⊥平面EFC'D'; (2)请在图②所给的点中找出两个点,使得这两点所在直线与平面D'HM垂直,并给出证明. [素养小结] 在证明两平面垂直时,一般从其中一个平面内寻找另一个平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.在已知两平面垂直用性质定理解题时,一般从其中一个平面内寻找与交线垂直的直线,如果这样的直线在图中不存在,也需通过作辅助线来解决. 拓展 正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是BC的中点,动点P在其表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的长度为 . 第2课时 平面与平面垂直的性质 【课前预习】 知识点 1.垂直 诊断分析 1.(1)× (2)× [解析] (1)满足条件的这两条直线不一定垂直,如图所示,平面α⊥平面β,a α,b β,a,b不垂直. (2)因为直线b不一定在平面α内,所以直线b不一定垂直于平面β. 2.解:记黑板所在平面与地面所在平面的交线为l,则由面面垂直的性质定理知,只要在黑板上画出一条与交线l垂直的直线,则所画直线必与地面垂直. 【课中探究】 探究点一 例1 证明:取PA的中点M,连接CM,BM,∵△PAC为正三角形,∴CM⊥PA.∵平面PAB⊥平面PAC,平面PAB∩平面PAC=PA,CM 平面PAC,∴CM⊥平面PAB.∵AB 平面PAB,∴AB⊥CM.又AB⊥AC,CM∩AC=C,AC 平面PAC,CM 平面PAC,∴AB⊥平面PAC. 变式 解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,AB=2BC,E为CD的中点,∴△ADE,△BCE都是等腰直角三角形,∴∠AED=∠BEC=45°,∴∠AEB=90°,即AE⊥EB.∵平面BEC'⊥平面ABED,平面BEC'∩平面ABED=BE,AE 平面ABED,∴AE⊥平面BEC',∴AE⊥BC'. (2)由(1)知△BC'E是等腰直角三角形,∴∠BEC'=45°.∵AE⊥平面BEC',∴EB⊥AE,EC'⊥AE,∴∠BEC'是二面角C'-AE-B的平面角,∴二面角C'-AE-B的余弦值为. 探究点二 例2 证明:(1)在△ABC中,因为∠BAC=,AB=AC,所以△ABC为正三角形. 因为N为AB的中点,所以CN⊥AB. 因为AA1⊥平面ABC,CN 平面ABC,所以AA1⊥CN. 因 ... ...
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