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课件网) 第十章 概率与统计初步 10.8 随机变量及其分布 必备知识梳理 1．离散型随机变量 (1)我们把表示随机试验结果的变量称为随机变量． (2)随机变量的表示：用小写希腊字母ξ，η等表示(或用大写英文字母表示，如X，Y，Z)． (3)离散型随机变量 所有的可能取值能一一列举出来的随机变量，我们称之为离散型随机变量． (4)离散型随机变量的概率分布 我们把离散型随机变量ξ的取值及其相对应的概率值的全体称为离散型随机变量ξ的概率分布，简称分布．每一个随机变量对应一个样本空间，随机变量可能取得的一个值对应一个基本事件． (5)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥_，i＝1，2，…，n． ②p1＋p2＋…＋pn＝_． 0 1 (6)离散型随机变量的均值或数学期望 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X )＝_____为随机变量X的均值或数学期望． D(X)＝[x1－E(X )]2p1＋[x2－E(X )]2p2＋…＋[xn－E(X )]2pn为离散型随机变量X的方差． x1 p1＋x2 p2＋ … ＋xi pi＋…＋xn pn 2．二项分布 (1)n次独立重复试验：如果每一次试验结果出现的概率都不依赖其他各次试验的结果，那么就把这种试验称为独立试验．如果在n次独立试验的每一次试验中，我们只考察事件A发生或不发生这两个结果，并且在每次试验中事件A发生的概率不变，那么这样的n次独立试验，就称为n次独立重复试验． 一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝_____(k＝0，1，2，…，n)． pk(1－p)n－k (2)二项分布 一般地，如果在一次试验中，某事件A发生的概率是p，随机变量X为n次独立试验中事件A发生的次数，那么随机变量X的概率分布为： p0 p1 pk p0 (1－p)n 其中0＜p＜1，k＝0，1，2，…，n． 我们将这种形式的离散型随机变量X的概率分布叫做二项分布．并称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为X～B(n，p)． 3．正态分布 (1)概率密度曲线 样本容量增大，所分组数会相应增多，频率分布直方图中的小矩形就变窄．设想如果样本容量无限增大，且分组的组距无限缩小，那么连接频率分布直方图所有的小矩形的上端的折线会无限地接近于一条光滑曲线，我们把这条曲线叫做概率密度曲线． (2)正态曲线的特点： ①曲线在x轴的上方，并且关于直线 x ＝μ对称． ②曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状． ③曲线的形状由正参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”． (3)标准正态分布 当μ＝_且σ＝_时的正态分布称为标准正态分布． 0 1 1．给出下列四个命题： ①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量； ④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 √ D [由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的．] 2．已知随机变量X的分布列如下表所示： X 1 2 3 P 0.25 a b 则a＋b等于( ) A．0.75 B．1.5 C．1 D．0.25 A [因为P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，所以0.25＋a＋b＝1，所以a＋b＝0.75．故选A．] √ 3．以下关于离散型随机变量的说法正确的是( ) ①随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个； ②离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出； ③离散型随机变量的分布列中pi>0(i＝1，2，…，n)； ④离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ √ C [①根据随机试验的条 ... ...
