同步检测50 两角差的余弦公式 1.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称,若sin α=,则cos (α-β)=( ) A.-1 B. C.- D.± 答案:C 解析:角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称, 所以β=2kπ+π-α,k∈Z,所以α-β=2α-2kπ-π, cos (α-β)=-cos 2α=2sin2α-1=2×()2-1=-.故选C. 2.化简cos(α-β)cos β+sin (α-β)sin β=( ) A.cos β B.cos α C.cos (2α-β) D.cos (α-2β) 答案:D 解析:cos (α-β)cos β+sin (α-β)sin β =cos ((α-β)-β)=cos (α-2β). 3.cos 15°+sin 15°=( ) A. B.- C. D.- 答案:A 解析:原式=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos (60°-15°)=cos 45°=. 4.[2024·广东深圳高一月考]计算:sin 20°sin 80°+cos 20°sin 170°=( ) A. B.- C. D.- 答案:A 解析:sin 20°sin 80°+cos 20°sin 170° =sin 20°sin 80°+cos 20°cos 80° =cos (80°-20°)=. 5.已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,则cos (α-β)=( ) A.- B.- C. D. 答案:A 解析:因为sin α+sin β=,所以sin2α+sin2β+2sinαsin β= ①, 因为cos α+cos β=,所以cos2α+cos2β+2cosαcos β= ②, ①+②得2+2cos (α-β)=1, ∴cos (α-β)=-. 6.(多选)下列说法中,正确的是( ) A.存在α,β的值,使cos (α-β)=cos αcos β-sin αsin β B.不存在无穷多个α,β的值,使cos (α-β)=cos αcos β-sin αsin β C.对于任意的α,β,都有cos (α-β)=cos αcos β-sin αsin β D.不存在α,β的值,使cos (α-β)≠cos αcos β+sin αsin β 答案:AD 解析:令α=β=0,则cos (α-β)=1,cos αcos β-sin αsin β=1,此时cos (α-β)=cos αcos β-sin αsin β,故A正确; 令α=β=2kπ(k∈Z),cos (α-β)=1,cos αcos β-sin αsin β=1,此时cos (α-β)=cos αcos β-sin αsin β,故B错误; 由两角差的余弦公式可知,对于任意的α和β,cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β,故C错误; 不存在α,β的值,使cos (α-β)≠cos αcos β+sin αsin β,若存在α和β,则与两角差的余弦公式矛盾,故D正确. 7.(多选)满足 cos αcos β=-sin αsin β的一组α,β的值是( ) A.α=,β= B.α=,β= C.α=,β= D.α=,β= 答案:BD 解析:因为cos αcos β=-sin αsin β, 所以cos αcos β+sin αsin β=, 即cos (α-β)=. 当α=,β=时,可得α-β=,cos (α-β)=,所以A错误; 当α=,β=时,可得α-β=,cos (α-β)=,所以B正确; 当α=,β=时,可得α-β=,cos (α-β)=,所以C错误; 当α=,β=时,可得α-β=-,cos (α-β)=,所以D正确. 8.cos =_____. 答案: 解析:cos =cos 15°=cos (45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=×+×=. 9.已知cos (-α)=,则cos α+sin α的值为_____. 答案: 解析:因为cos (-α)=cos cos α+sin sin α=cos α+sin α=,所以cos α+sin α=. 10.(13分)已知角α∈(0,π),且cos α=-. (1)求sin (π-α)的值; (2)求cos (α-)的值. 答案:(1)由题意知,sin α==, 所以sin(π-α)=sin α=. (2)由(1)知,sin α=, 所以cos (α-)=cos α+sin α=×=. 11.(5分)[2024·浙江衢州高一月考]已知α,β∈(0,),且cos (α+β)=,sin α=,则cos β=( ) A.- B. C. D. 答案:C 解析:因为α,β∈(0,),所以α+β∈(0 ... ...
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