11.2 与三角形有关的角 任务一 三角形的内角和 母题1 如图,在△ABC中,∠BAC∶∠ABC=7∶6,∠ABC比∠C大10°,BE,AD是△ABC的高,交点为H,求∠DHB的度数. 变式练1：在锐角△ABC中,∠BAC=50°,将∠α的顶点P放置在BC边上,使∠α的两边分别与边AB,AC交于点E,F(点E不与点B重合,点F不与点C重合).设∠BEP=x,∠CFP=y. (1)【发现】若∠α=40°. ①如图1,当点F与点A重合,x=60°时,y= ; ②如图2,当点E,F均不与点A重合时,x+y= . (2)【探究】判断x,y和∠α之间满足怎样的数量关系 并写出你的理由. 【关键点拨】 任务二 直角三角形的性质和判定 母题2 如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=62°,AE平分∠BAC. (1)求∠BAE的度数. (2)若AD⊥BC于点D,∠ADF=74°,求证:△ADF是直角三角形. 变式练2：如图,已知D是线段BC的延长线上一点,∠ACD=∠ACB,∠COD=∠B,求证:△AOE是直角三角形. 任务三 三角形的外角性质 母题3 如图,在△ABC中,已知∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE是AC边上的高,CF是AB边上的高,H是BE和CF的交点,求∠EHF的度数. 【关键点拨】 变式练3：如图,在△ABE中,∠EAD=∠EDA,∠EAC=∠B. (1)AD是∠BAC的平分线吗 为什么 (2)若∠B=50°,∠E=40°,求∠ACE和∠BAD的度数. 母题4 如图,将长方形ABCD沿EF折叠后,点D,C分别落在点D',C'的位置,ED'的延长线交BC于点G.若∠EFG=64°,求∠BGE的度数. 【关键点拨】 变式练4：在三角形纸片ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,沿DE折叠,点A落在点A'的位置. (1)如图1,当点A'落在CD边上时,∠DAE与∠1之间的数量关系为 .(只填序号) ①∠DAE=∠1;②∠DAE=2∠1;③∠1=2∠DAE. (2)如图2,当点A落在△ABC内部时,请写出∠DAE与∠1,∠2之间的数量关系,并说明理由. 任务四 三角形内角和与外角相关的探究性问题 母题5 如图1,∠MON=80°,点A,B在∠MON的两条边上运动,∠OAB与∠OBA的平分线交于点C. (1)点A,B在运动过程中,∠ACB的大小会变吗 如果不会,求出∠ACB的度数;如果会,请说明理由. (2)如图2,AD是∠MAB的平分线,AD的反向延长线交BC的延长线于点E,点A,B在运动过程中,∠E的大小会变吗 如果不会,求出∠E的度数;如果会,请说明理由. (3)如图2,若∠MON=n,请直接写出∠ACB= ,∠E= . 变式练5：【概念理解】在一个三角形中,如果一个角的度数是另一个角度数的4倍,那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”.如:三个内角分别为130°,40°,10°的三角形是“完美三角形”. 【简单应用】如图1,∠MON=72°,在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C(点C不与点O,B重合). (1)∠ABO= °,△AOB (填“是”或“不是”)“完美三角形”. (2)若∠ACB=90°,求证:△AOC是“完美三角形”. 【应用拓展】(3)如图2,点D在△ABC的边AB上,连接DC,作∠ADC的平分线交AC于点E,在DC上取一点F,使∠EFC+∠BDC=180°,∠DEF=∠B.若△BCD是“完美三角形”,求∠B的度数. 任务五 利用三角形的内角和或外角的性质求角度 母题6 如图,AD是∠CAE的平分线,∠B=35°,∠DAE=60°,求∠ACD的度数. 变式练6：如图,AD是△ABC的外角平分线,∠B=35°,∠DAE=60°,求∠C的度数. 参考答案 母题1 解:设∠BAC=7x,∠ABC=6x,则∠C=6x-10°. 在△ABC中,7x+6x+(6x-10°)=180°,解得x=10°, ∴∠C=6×10°-10°=50°. ∵BE是△ABC的高, ∴∠BEC=90°, ∴∠CBE=180°-∠BEC-∠C=180°-90°-50°=40°. ∵AD是△ABC的高, ∴∠ADB=90°, ∴∠DHB=180°-∠ADB-∠CBE=180°-90°-40°=50°. 变式练1 解:(1)①30°. 提示:∵∠BEP=60°,∠α=40°, ∴∠EAP=60°-40°=20°. ∵∠BAC=50°, ∴y=∠BAC-∠EAP=50°-20°=30°. ②90°. 提示:∵∠BAC=50°, ∴∠B+∠C=130°. 在△BEP中,∠B+∠BEP+∠BPE=180°①, 在△PFC中, ... ...
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