13.3 等腰三角形 重难点突破 任务式练习（含答案） 2024-2025学年数学人教版八年级上册

13.3　等腰三角形 任务一　等腰三角形中的分类讨论问题 子任务1　角的度数的分类讨论问题 母题1　若一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则顶角的度数为　　　　. 变式练1：在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为60°,则底角的大小为　 　度. 子任务2　确定等腰三角形的分类讨论问题 母题2　过等腰三角形顶角顶点的一条直线,将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形,则原等腰三角形的底角度数为　 　. 变式练2：在等腰三角形ABC中,∠A为顶角,过点B的一条直线将该等腰三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形,则∠A的度数为　 　. 任务二　利用等边三角形的性质计算 子任务1　求线段的长 母题3　如图,等边三角形ABC的边长为4,D是AC的中点,点E在BC的延长线上,若DE=DB,求CE的长. 变式练3：如图,在边长为1的等边三角形ABC中,D为射线AB上一点,AD=2.点E在射线CB上,且DE=DC,则CE的长为　 　. 子任务2　计算角度 母题4　如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于 (　　) A.15° B.30° C.45° D.60° 变式练4：如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,AD=AC,连接CD并延长,交AB的延长线于点E,求∠E的度数. 任务三　含30 °角的直角三角形的性质的应用 子任务1　求线段长 母题5　如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F,BC=6.求CF的长. 变式练4：如图,∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM的长为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 子任务2　证明线段的倍分关系 母题6　如图,△ABC是等边三角形,D、E分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q. (1)求证:△ABE≌△CAD. (2)求证:BP=2PQ. 【关键点拨】 变式练6：如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E.求证:CE=AC. 参考答案 母题1　40°或140°　提示: ①当等腰三角形为锐角三角形时,如图1. ∵∠ABD=50°,BD⊥AC, ∴∠A=90°-50°=40°. ∴三角形的顶角为40°. ②当等腰三角形为钝角三角形时,如图2. ∵∠ABD=50°,BD⊥AC, ∴∠BAD=90°-50°=40°. ∵∠BAD+∠BAC=180°, ∴∠BAC=140°, ∴三角形的顶角为140°. 变式练1　75或15 提示:①当AB的垂直平分线与AC的交点E在线段AC上时,如图1,则∠AED=60°. 图1 ∵DE⊥AB, ∴∠A=90°-60°=30°. ∵AB=AC, ∴∠B=∠C==75°. ②当AB的垂直平分线与AC的交点在线段CA的延长线上时,如图2,则∠DEA=60°, 图2 ∴∠BAE=90°-60°=30°. ∵AB=AC, ∴∠B=∠C. ∵∠BAE=∠B+∠C, ∴∠B=∠C=15°, 故底角的大小为75°或15°. 母题2　36°或45°　提示:①如图1. ∵AB=AC,BD=AD,AC=CD, ∴∠ABC=∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD. ∵∠CDA=∠ABC+∠BAD=2∠ABC, ∴∠CAB=3∠ABC. ∵∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴5∠ABC=180°, ∴∠ABC=36°. ②如图2. ∵AB=AC,AD=BD=CD, ∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB, ∴∠BAC=2∠ABC. ∵∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴4∠ABC=180°, ∴∠ABC=45°. 变式练2　36°或°. 母题3　解:∵△ABC是等边三角形,D是AC的中点, ∴BD平分∠ABC,∠ACB=∠ABC=60°,AC=4,CD=2 ∴∠DBE=30°. ∵DE=DB, ∴∠DEB=∠DBE, ∴∠DEB=30°. ∵∠ACB=60°, ∴∠CDE=30°. ∴CE=CD=2. 变式练3　3　提示: ∵△ABC为等边三角形,且边长为1, ∴AB=BC=AC=1,∠ABC=60°, ∴∠EBD=∠ABC=60°. ∵AD=2, ∴BD=AD-AB=2-1=1, ∴BD=BC=1, ∴∠BDC=∠BCD. ∵∠BDC+∠BCD=∠ABC=60°, ∴∠BDC=∠BCD=30°. ∵DE=DC, ∴∠DEB=∠BCD=30°, ∴∠EDB=180°-(∠DEB+∠EBD)=180°-(30°+60°)=90°, ∴BE=2BD=2, ∴CE=BC+BE=1+2=3. 母题4　A　提示:∵在等边三角形ABC中,AD⊥BC, ∴BD=CD,即AD是BC的垂直平分线. ∵点E在AD上, ∴BE=CE, ∴ ... ...