13.4 课题学习 最短路径问题 任务一 与最短路径有关的计算问题 子任务1 求周长的最小值 母题1 如图,∠AOB=30°,点D是它内部一点,OD=m.点E,F分别是OA,OB上的两个动点,则△DEF周长的最小值为 ( ) A.0.5m B.m C.1.5m D.2m 变式练1：如图,在△ABC中,AB=AC,BC=4,△ABC的面积为12,AB的垂直平分线EF交AB于点E,AC于点F,若D为BC边的中点,M为线段EF上的一动点,求△BDM周长的最小值. 子任务2 求线段和的最小值 母题2 如图,在等边△ABC中,BD是∠ABC的平分线,E是BC的中点,P是BD上的一个动点,连接PE,PC,当PE+PC的值最小时,∠EPC的度数为 . 变式练2：如图,已知D,E分别是等边三角形ABC中BC,AB边的中点,AD=6,F是线段AD上的动点,则BF+EF的最小值为 . 任务二 与最短路径有关的作图问题 母题3 如图,为了做好交通安全工作,某交警执勤小队从点A处出发,先到公路l1上设卡检查,再到公路l2上设卡检查,最后到点B处执行任务,他们应如何走才能使总路程最短 变式练3：如图,AB是∠MON内部的一条线段,在∠MON的两边OM,ON上各取一点C,D组成四边形ABDC,如何取点才能使该四边形的周长最小 参考答案 母题1 B 提示:如图,作D点关于AO的对称点G,作D点关于OB的对称点H,连接GH交AO于点E,交OB于点F,连接GO,OH, 由对称性可知,GE=ED,DF=FH,OG=OD=OH, ∴ED+DF+EF=GE+EF+FH=GH, 此时△DEF的周长最小,最小值为GH. ∵∠GOA=∠AOD,∠DOB=∠BOH, ∴∠GOH=2∠AOB. ∵∠AOB=30°, ∴∠GOH=60°, ∴△GOH是等边三角形, ∴GH=OH=OD. ∵DO=m, ∴△DEF周长的最小值为m. 故选B. 变式练1 解:如图,连接AD、AM. ∵△ABC是等腰三角形,点D是底边BC边的中点, ∴AD⊥BC,BD=CD=2, ∴S△ABC=BC·AD=×4×AD=12, 解得AD=6. ∵EF是线段AB的垂直平分线, ∴点B关于直线EF的对称点为点A,AM=BM, ∴AD的长为BM+MD的最小值, ∴△BDM的周长最小值=(BM+MD)+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8. 母题2 60° 变式练2 6 母题3 解:(1)如图,作点A关于直线l1的对称点A'. (2)作点B关于直线l2的对称点B'. (3)连接A'B',分别交直线l1,l2于点C,D,连接AC,BD. 所以先到点C处设卡检查,再到点D处设卡检查,最后到点B处执行任务,按照这样的路线所走的路程最短. 变式练3 解: 如图,作点A关于OM的对称点E,再作点B关于ON的对称点F,连接EF交OM于点C,交ON于点D,连接AC,CD,BD, 则四边形ABDC即所求.
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