21.2 解一元二次方程 同步培优训练（含答案）2024-2025学年数学人教版九年级上册

21.2　解一元二次方程 任务一　选择恰当的方法解一元二次方程 母题1　用适当的方法解下列方程: (1)x2-2x-8=0; (2)2x(x+3)=5; (3)3(x+4)2=x2-16; (4)16(x-3)2-25(x-2)2=0. 变式练1：用适当的方法解下列方程: (1)4(x+1)2=9; (2)(x-5)2=2(x-5); (3)x2-12x=864; (4)9(x+1)2=(2x-5)2. 任务二　配方法的应用 子任务1　利用配方法求代数式的最值 母题2　当x为何值时,代数式2x2-16x+5有最小值,最小值是多少 【关键点拨】 变式练2：(1)代数式-x2+4x+m有最大值2,则m=　　　　; (2)代数式x2+6x+m有最小值1,则m=　　　　. 子任务2　利用配方法求值 母题3　已知2x2+y2+4x-6y+11=0,x,y为实数,求xy的值. 变式练3：已知 x2+2y2+2xy-6y+9=0,则xy的值为　　　　. 任务三　一元二次方程根的判别式的应用 子任务1　判断一元二次方程根的情况 母题4　对于任意实数k,关于x的方程x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0的根的情况为 (　 　) A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 变式练4：定义新运算a*b:对于任意实数a,b满足a*b=(a+b)(a-b)-1.其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况是 (　 　) A.有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 子任务2　已知方程的根的情况确定方程中字母的取值范围 母题5　已知关于x的方程(m+1)x2+2mx+(m-3)=0有实数根. (1)求m的取值范围. (2)当m为何值时,方程有两个相等的实数根 并求出这两个实数根. 【关键点拨】 变式练5：关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是　　　　. 子任务3　运用一元二次方程根的判别式判断三角形的形状 母题6　已知a,b,c为△ABC的三条边长,且方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0有两个相等的实根,试判断△ABC的形状. 【关键点拨】 变式练6：在Rt△ABC中,∠C=90°,若a,b,c是Rt△ABC的三条边长,试证明关于x的方程(a+c)x2-bx+(c-a)=0有两个相等的实数根. 变式练7：已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长. (1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由. (2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由. (3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根. 任务四　一元二次方程根与系数关系的应用 子任务1　已知方程的一根,求另一根或字母系数的值 母题7　已知一元二次方程x2-6x+q=0有一个根为2,求方程的另一个根和q的值. 【关键点拨】 变式练8：已知关于x的一元二次方程:x2+(k-5)x+4-k=0. (1)求证:无论k为何值,方程总有实数根. (2)若方程的一个根是2,求方程的另一个根及k的值. 子任务2　求关于方程两根的代数式的值 母题8　已知实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,则+的值是 (　 　) A.7 B.-7 C.11 D.-11 变式练9：已知实数a,b分别满足a2-4a+6=0,b2-4b+6=0,且a≠b,则+的值是 (　 　) A. B.- C. D.- 参考答案 母题1　解:(1)移项,得x2-2x=8, 配方,得(x-1)2=9; ∴x-1=±3, ∴x1=4,x2=-2. (2)原方程可化为2x2+6x-5=0. ∵a=2,b=6,c=-5,∴Δ=62-4×2×(-5)=76>0, ∴x===, 即x1=,x2=. (3)原方程可化为3(x+4)2-(x+4)(x-4)=0. 因式分解,得(x+4)(2x+16)=0. ∴x+4=0或2x+16=0,∴x1=-4,x2=-8. (4)整理方程,得[4(x-3)]2-[5(x-2)]2=0; 因式分解,得[4(x-3)+5(x-2)][4(x-3)-5(x-2)]=0, 即(9x-22)(x+2)=0, ∴9x-22=0或x+2=0, ∴x1=,x2=-2. 变式练1　 (1)x1=,x2=-. (2)x1=5,x2=7. (3)x1=36,x2=-24. (4)x1=-8,x2=. 母题2　解:2x2-16x+5=2(x2-8x)+5=2(x2-8x+16-16)+5=2(x2-8x+16)-32+5=2(x-4)2-27. ∵(x-4)2≥0, ∴当(x-4)2=0,即x=4时,代数式2x2-16x+5有最小值,最小值为 ... ...