人教版八年级数学上名师点拨精练第13章 轴对称专题等腰三角形中的常见证明思路（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 人教版八年级数学上名师点拨精练 轴对称 专题 等腰三角形中的常见证明思路 类型一、利用等腰三角形的性质证明角相等 例1． 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且． （1）求证：． （2）连接AD，求证：AD⊥BC． 针对练习1 1．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）求证：∠EBC＝∠ECB． 2． 在△ABC中，AB＜AC，AD为△ABC的角平分线，点E是BC边的中点．过点E作AD延长线的垂线，垂足为点G，交AC于点F，交AB的延长线于点H． （1）求证：∠AHF＝∠AFH； （2）探究：在线段EH上是否能找到一点P，使得△BEP≌△CEF．如果能够，请找出并证明之； （3）证明：BH＝CF． 3．如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）求证：BF⊥AE； （3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由． 类型二、利用“三线合一”证明两线垂直 例2．如图，在中，，，试说明的理由． 解：已知， ▲ 已知， 等式性质， 在与中， ， ≌ ， ， 又， 针对练习2 1． 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且． （1）求证：． （2）连接AD，求证：AD⊥BC． 2．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点． （1）求证：； （2）当，，时，求的长． 3．如图，在中，，过点作线段，连接，且满足.取的中点，连接. （1）若，直接写出的取值范围　 　； （2）求证：. 类型三、利用平行线证明等腰三角形 例3．如图，在平行四边形ABCD中，BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，求证：BE=BC． 针对练习3 1．如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，BD＝BC，过点D作DE∥AB交BC于点E，且 DE平分∠BDC． 求证：AD＝BC． 2．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD． 3．如图所示，在四边形ABCD中，的平分线与的平分线相交于点F，与的延长线交于点E，连接． 求证： （1）是等腰三角形． （2）若．则_____． 5． （1）如图，中，，，的平分线交于点，过点作交，于点，图中有　 　个等腰三角形猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图，若，其他条件不变，图中有　 　个等腰三角形；与，间的关系是　 　； （3）如图，，若的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作交于，交于图中有　 　个等腰三角形与，间的数量关系是　 　． 类型四、利用全等三角形证明等腰三角形 例4．如图所示，AE=AD，∠B=∠C，BE=4，AD=5，则AC=_____． 针对练习4 1．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD． （1）证明：△ADB≌△EBC； （2）直接写出图中所有的等腰三角形． 2．从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：_____（只填序号） 求证：△AED是等腰三角形． 证明： _____． 3．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形． （2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长． 4．已知：如图，AB=DC，BD=CA，求证：△AED是等腰三角形． 类型五、等腰三角形中的探究问题 例5．如图，． （1）写出与的数量关系 （2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：． （3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 针对练习5 1．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，连接AD、DE，∠ADB＋∠EDC＝∠CED． （1）求证：AD＝AE （2）∠ABC＝2∠EDC，求证：∠BAD＝∠C （3）在（2）的条件下，∠ABC＝∠EAD＝60°，直接写出BD与AD之间的关系． 2．已知：如图1，在R ... ...