人教版八年级数学上名师点拨精练第13章 轴对称13.4 最短路径问题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 人教版八年级数学上名师点拨精练 轴对称 13.4 最短路径问题 学习目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。体会图形的变化在解诀最值问题中的作用。 2.感悟转化思想。 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 难点：路径最短的证明。 老师告诉你 1.最短路径问题的类型 （1）两点一线型的线段和的最小值问题；（2）两线一点型的线段和的最小值问题；（3）两点两线型的线段和的最小值问题。 2.解决最短路径问题的方法 借助轴对称或平移的知识，化折为直，利用两点之间线段最短或垂线段最短来求线段和的最小值。 知识点拨 知识点1 两点一线型 1.类型一 两定点在直线两侧，动点在直线上，求线段和最小值 求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． 2.类型二 两定点在直线同侧，动点在直线上，求线段和最小值 求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点． 典例剖析1 例1-1 .如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶， M,N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M,N的距离相等？（用圆规和直尺作图，写出作法并保留作图痕迹） 例1-2 .如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A．7 B．9 C．10 D．14 针对练习1 1．某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短的方案是( ) A. B. C. D. 2．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在( ) A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 3．如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上取一点P，使得最小，对点P的位置叙述正确的是( ) A.作线段的垂直平分线与直线l的交点，即为点P B.过点A作直线l的垂线，垂足即为点P C.作点B关于直线l的对称点，连接，与直线的交点，即为点P D.延长与直线l的交点，即为点P 4．在一条沿直线铺设的电缆一侧有P，Q两个小区，要求在直线l上的某处选取一点M，向P，Q两个小区铺设电缆，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的电缆，则所需电缆材料最短的是( ) A. B. C. D. 知识点2 两线一点型 1.类型三 一定点在角内部，两动点在角的两边上，求线段和最小值 求角内部一点与角两边所在直线上的两点所构成的三角形周长最小的问题，只要分别找到角内部这个点关于角两边所在直线的对称点，连接对称点与角两边所在直线的交点，即为所求． 如图所示，点在的内，动点、动点分别在的两边上，在角两边所在直线上分别找两个点、，使三角形PMN的周长最小，这时分别作与关于直线对称，作与关于直线对称，连接、的直线与角两边所在直线的交点为所求。 典例剖析2-1 例2-1．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则_____°. 针对练习2-1 1．.如图，分别是线段的垂直平分线，，一只小蚂蚁从点M出发爬到边上任意一点E，再爬到边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为（ ） A． B． C． D． 2．如图，是内部的一条线段，在的两边，上各取一点C，D组成四边形，如何取点才能使该四边形周长最小？ 3 .如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 2.类型四 定点在角 ... ...