中小学教育资源及组卷应用平台 2025北师版高中数学必修第二册 5.2 向量数量积的坐标表示 5.3 利用数量积计算长度与角度 课后训练巩固提升 1.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为( ). A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.(多选题)已知向量a=(1,),b=(-1,0),则( ). A.a-2b=(2,) B.|a|=2|b| C.(a+b)⊥b D.a与b的夹角为 3.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是( ). A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 4.已知向量a=(1,2),b=(4,λ),若a⊥b,则向量2a+b与a的夹角θ等于( ). A. B. C. D. 5.已知=(-3,-2),=(m,1),||=3,则=( ). A.7 B.-7 C.15 D.-15 6.设x,y∈R,向量a=(x,2),b=(3,y),c=(1,-1),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于( ). A.5 B.4 C. D.2 7.已知函数y=tan(x-)的部分图象如图所示,则()·的值为( ). A.1 B.4 C.6 D.7 8.设a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影数量为 . 9.已知a=(2,1)与b=(1,2),要使|a+tb|最小,则实数t的值为 . 10.已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则向量a与b的夹角为 ,的值为 . 11.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值. 12.设平面内三点A(1,0),B(0,1),C(2,5). (1)试求向量2的模; (2)若向量的夹角为θ,求cos θ; (3)求向量上的投影数量. 答案： 1.B ∵=(2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6), ∴||==2,||==4,||==6, ∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形,但不是等腰直角三角形. 2.BC 对于A,a-2b=(1,)-2(-1,0)=(3,),A错;对于B,|a|=2,|b|=1,则|a|=2|b|,B对; 对于C,a·b=-1,故(a+b)·b=a·b+b2=-1+1=0,所以,(a+b)⊥b,C对; 对于D,cos
==-,因为0≤≤π,所以=,D错. 3.C 设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,最小,此时点P的坐标为(3,0). 4.A 因为向量a=(1,2),b=(4,λ),a⊥b,所以1×4+2λ=0,解得λ=-2. 所以b=(4,-2),2a+b=(6,2), 所以设向量2a+b与a的夹角θ,则cos θ=. 又因为θ∈[0,π],所以θ=. 5.B 因为=(-3,-2),=(m,1),所以=(m+3,3), 即||==3 m=-3,所以=(3,2),=(-3,1),=-9+2=-7. 6.C 因为a⊥c,b∥c,所以a+b=(2,2)+(3,-3)=(5,-1),所以|a+b|=. 7.C 令y=tan=0,且A是第一个零点,则A(2,0);令y=tan=1,B是y轴右侧第一个周期内的点,所以x=3,则B(3,1),所以=(5,1),=(1,1), 则()·=5+1=6. 8. a在b方向上的投影数量为. 9.- ∵a+tb=(2+t,1+2t), ∴|a+tb|=. ∴当t=-时,|a+tb|有最小值. 10.180° - 设a,b的夹角为θ, 则a·b=|a||b|cos θ=6cos θ=-6, 故cos θ=-1,又0°≤θ≤180°,∴θ=180°, 即a,b共线且反向,∴a=-b, ∴x1=-x2,y1=-y2,∴=-. 11.(1)证明 ∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴=(1,1),=(-3,3). 又=1×(-3)+1×3=0, ∴,即AB⊥AD. (2)解 ∵,四边形ABCD为矩形,∴. 设点C坐标为(x,y),则=(x+1,y-4), ∴解得∴点C的坐标为(0,5). ∴=(-2,4).又=(-4,2), ∴=8+8=16>0,||=2,||=2. 设的夹角为θ,则cos θ=>0, ∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为. 12.解 (1)∵A(1,0),B(0,1),C(2,5), ∴=(0,1)-(1,0)=(-1,1),=(2,5)-(1,0)=(1,5),∴|2|==5. (2)由(1)知,=(-1,1),=(1,5),故cos θ=. (3)由(2)知向量的夹角的余弦值为cos θ=,且||=, 故向量上的投影数量为||cos θ=. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ... 
