2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章　§6　6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025北师版高中数学必修第二册 6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例 课后训练巩固提升 A组 1.若=(2,2),=(-2,3)分别表示F1,F2,则|F1+F2|为(　　). A.(0,5) B.25 C.2 D.5 2.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD等于(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知点O是△ABC所在平面内的一点,满足,则点O是△ABC的(　　). A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 4.如图,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,若,则||等于(　　). A. B.2 C.3 D.2 5.用牵绳拉船沿直线方向前进60 m,若牵绳与行进方向的夹角为30°,拉力为50 N,则该拉力对船所做的功为　　　　　J. 6.已知一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5),在这个过程中三个力的合力所做的功等于　　　　　　　　　. 7.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是　　　. 8.如图,一物体受到两个大小均为60 N的力的作用,两力的夹角为60°,且有一力方向水平,求合力的大小及方向. 9.如图,在等边三角形ABC中,D,E分别是AB,BC上的一个三等分点,且分别靠近点A、点B,且AE,CD交于点P.求证:BP⊥DC. B组 1.已知点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位长度).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(　　). A.(-2,4) B.(-30,25) C.(10,-5) D.(5,-10) 2.在△ABC中,设O是△ABC的外心,且,则∠BAC=(　　). A.30° B.45° C.60° D.90° 3.在△ABC中,D为三角形所在平面内一点,且,则等于(　　). A. B. C. D. 4.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过 h船的实际航程为(　　). A.2 km B.6 km C.2 km D.8 km 5.在△ABC中,AB=5,AC=10,=25,点P是△ABC内(包括边界)的一个动点,且(λ∈R),则||的最小值是(　　). A. B. C.3 D. 6.一条河的两岸平行,河的宽度为560 m,一艘船从一岸出发到河对岸,已知船的静水速度|v1|=6 km/h,水流速度|v2|=2 km/h,则行驶航程最短时,所用时间是　　　　　min.(精确到1 min) 7.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从点A出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10 km/h,水流速度的大小为|v2|=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°). (1)当cos θ多大时,船能垂直到达对岸 (2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短 为什么 8.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为点E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC. 答案： A组 1.D　因为F1+F2=(0,5),所以|F1+F2|==5. 2.A　建立平面直角坐标系,如图所示. 设AD=t(t>0),则A(0,0),C(1,t),B(2,0), 则=(1,t),=(-1,t). 由AC⊥BC知=-1+t2=0,解得t=1,故AD=1. 3.D　∵,∴()·=0,∴=0,∴OB⊥AC. 同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴O为三条高的交点. 4.B　如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),E(2,0). 设AD=m,则D(0,m),C(4,m). ∵, ∴=0,而=(2,-m),=(4,m),∴8-m2=0,即m2=8, ∴||==2. 5.1 500　所做的功W=60×50×cos 30°=1 500(J). 6.-40　∵F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1), ∴合力F=F1+F2+F3=(8,-8). 又=(0-1,5-1)=(-1,4), ∴F·=8×(-1)+(-8)×4=-40,即三个力的合力做的功等于-40. 7.30　=(3,6)=. 因为=(4,-2)·(3,6)=0, 所以四边形ABCD为矩形, 所以||==2, ||==3, 所以S=||||=2×3=30. 8.解 设向量分别表示两力,以为邻边作平行四边形OACB,即为合力. 由已知可得△OAC为等腰三角形,且∠COA=30°. 过点A作AD⊥OC于点D,则在Rt△OAD中,||=||cos 30°=60×=30. 故||=2||=60,即合力的大小为60 N,方向与水平方向成30°角. 9.证明 设=λ,并设△ABC的边长 ... ...