2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷 一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.若，且，则_____. 2._____. 3.已知正实数，，满足，则的最小值为_____. 4.已知函数，当时，有最大值5，则的值为_____. 5.已知中，上的一点，，，则的最大值为_____. 6.若点为线段中点，，且，，，，则_____. 7.如图，在中，，分别在，上，连结交于，若，，，，共线，的面积为11，则的面积为_____. 8.已知整数，，满足，则的最小值为_____. 9.已知，，是大于1的正整数，且为整数，则_____. 10.已知、为圆的两条切线，连结交圆于点，若，，，则_____. 二、解答题：本题共2小题，共16分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.（本小题8分） 已知，矩形的，顶点分别在轴，轴上，反比例函数与矩形的，分别交于，，的面积为4.5. （1）判断并证明直线与的关系. （2）求的值. （3）若，分别为直线和反比例函数上的动点，为中点，求的最小值. 12.（本小题8分） 如图，在中，，是垂心，是外心，延长交于，于. （1）求证：. （2）证明：，，，四点共圆. （3）若，求. 参考答案 1.【答案】 解：， ， ， ， ，是方程的两个根， ， . 故答案为. 2.【答案】 解：原式 . 故答案为：. 3.【答案】18 解：构造图示的三个直角三角形， 即，，， 满足，，，，，， 则由勾股定理可知，即同理可得，， 所以可知当，，四点共线时， 最小， 即为长，当当，，，四点共线时，. 在中. 故答案为18. 4.【答案】1或7 解：由题意，的对称轴是直线， 当时，. 又当时，，当时，， ①当最大值为， 或（不合题意）； ②当最大值为， 或，均不合题意； ③当最大值为， （不合题意）或. 综上，或7. 故答案为：1或7. 5.【答案】 解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于， ， 设，则， ，， 点在以为半径，为半径的圆上运动， 当与圆相切时，有最大值， 此时：， 是等边三角形，， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， 故答案为：. 6.【答案】3 解：如图，过作.延长交于. ， ， 为线段中点， ， 在和中， ， ， ， ， 面积， ， ， ， ， ， ， . 故答案为：3. 7.【答案】30 解：梅涅劳斯定理：如图，， 证明：过作交延长线于点， 则，， ； 塞瓦定理：如图，， 证明：根据上述梅涅劳斯定理，可得出， 在中，是梅涅线，① 在中，是梅涅线，② . 根据梅涅劳斯定理，在中，是梅涅线， ， ， ， ， ， 根据塞瓦定理可得， ， ， 而， ， . 故答案为：30. 8.【答案】118 解：， ， ，，， ， 即， 故答案为：118. 9.【答案】12 解：、、是大于1的正整数， ，，是分数， ，，为假分数， 为整数，且分子分母能互相约分， ， ①当，时，分子中定有7， 分母中有7才能进行约分， 当时， ，故符合题意， ， ②，时，分子中定有13， 分母中有13才能进行约分， 当时， 不是整数，故不符合题意， ③，时，分子中定有21， 分母中有21才能进行约分， 当时， 不是整数，故不符合题意， 其余情况依次讨论均不符合题意 故答案为：12. 10.【答案】 解：连接，，，作，设， 同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，， ， ， 是等边三角形， ，， ，是的切线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， 得出：， ， ，， ， 是直径， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， . 11.【答案】解：（1）如图1， ，理由如下： 由题意得， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）如图2， 图2 作于， ， ， ， ， ，（舍去）， ； （3）如图2， 取点，， 则直线与直线关于对称， 连接，并延长交于，连接， 则， 是的中点， ， 当最小时，最小， 作直线，交轴与，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于，作， 则的最小值是的长， 直线的解析式为：， 设 ... ...
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