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2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试题(含详解)

日期:2025-05-21 科目:数学 类型:初中试卷 查看:24次 大小:882362B 来源:二一课件通
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2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷 一、填空题:本题共10小题,每小题3分,共30分。 1.若,且,则_____. 2._____. 3.已知正实数,,满足,则的最小值为_____. 4.已知函数,当时,有最大值5,则的值为_____. 5.已知中,上的一点,,,则的最大值为_____. 6.若点为线段中点,,且,,,,则_____. 7.如图,在中,,分别在,上,连结交于,若,,,,共线,的面积为11,则的面积为_____. 8.已知整数,,满足,则的最小值为_____. 9.已知,,是大于1的正整数,且为整数,则_____. 10.已知、为圆的两条切线,连结交圆于点,若,,,则_____. 二、解答题:本题共2小题,共16分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 11.(本小题8分) 已知,矩形的,顶点分别在轴,轴上,反比例函数与矩形的,分别交于,,的面积为4.5. (1)判断并证明直线与的关系. (2)求的值. (3)若,分别为直线和反比例函数上的动点,为中点,求的最小值. 12.(本小题8分) 如图,在中,,是垂心,是外心,延长交于,于. (1)求证:. (2)证明:,,,四点共圆. (3)若,求. 参考答案 1.【答案】 解:, , , , ,是方程的两个根, , . 故答案为. 2.【答案】 解:原式 . 故答案为:. 3.【答案】18 解:构造图示的三个直角三角形, 即,,, 满足,,,,,, 则由勾股定理可知,即同理可得,, 所以可知当,,四点共线时, 最小, 即为长,当当,,,四点共线时,. 在中. 故答案为18. 4.【答案】1或7 解:由题意,的对称轴是直线, 当时,. 又当时,,当时,, ①当最大值为, 或(不合题意); ②当最大值为, 或,均不合题意; ③当最大值为, (不合题意)或. 综上,或7. 故答案为:1或7. 5.【答案】 解:如图,以为边作等边三角形,连接,过点作于, , 设,则, ,, 点在以为半径,为半径的圆上运动, 当与圆相切时,有最大值, 此时:, 是等边三角形,, , , , 又, , , 四边形是平行四边形, 又, 四边形是矩形, , 故答案为:. 6.【答案】3 解:如图,过作.延长交于. , , 为线段中点, , 在和中, , , , , 面积, , , , , , , . 故答案为:3. 7.【答案】30 解:梅涅劳斯定理:如图,, 证明:过作交延长线于点, 则,, ; 塞瓦定理:如图,, 证明:根据上述梅涅劳斯定理,可得出, 在中,是梅涅线,① 在中,是梅涅线,② . 根据梅涅劳斯定理,在中,是梅涅线, , , , , , 根据塞瓦定理可得, , , 而, , . 故答案为:30. 8.【答案】118 解:, , ,,, , 即, 故答案为:118. 9.【答案】12 解:、、是大于1的正整数, ,,是分数, ,,为假分数, 为整数,且分子分母能互相约分, , ①当,时,分子中定有7, 分母中有7才能进行约分, 当时, ,故符合题意, , ②,时,分子中定有13, 分母中有13才能进行约分, 当时, 不是整数,故不符合题意, ③,时,分子中定有21, 分母中有21才能进行约分, 当时, 不是整数,故不符合题意, 其余情况依次讨论均不符合题意 故答案为:12. 10.【答案】 解:连接,,,作,设, 同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍,, , , 是等边三角形, ,, ,是的切线, ,,, , , , , , , , 同理可证:, 得出:, , ,, , 是直径, , ,,, ,, , , , , , . 11.【答案】解:(1)如图1, ,理由如下: 由题意得, ,, ,, ,, , , , , , ; (2)如图2, 图2 作于, , , , , ,(舍去), ; (3)如图2, 取点,, 则直线与直线关于对称, 连接,并延长交于,连接, 则, 是的中点, , 当最小时,最小, 作直线,交轴与,且使与双曲线在第一象限的图象相切,切点为,作于,作, 则的最小值是的长, 直线的解析式为:, 设 ... ...

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