中小学教育资源及组卷应用平台 2025北师大版高中数学必修第二册 §5 从力的做功到向量的数量积 5.1 向量的数量积 基础过关练 题组一 向量数量积的定义 1.(2022陕西榆林十中期中)已知圆O的半径为3,圆心为O,点A和点B在圆O上,且AB=3,则·=( ) A.4 B. C.5 D. 2.已知向量a与向量b平行,且|a|=3,|b|=4,则a·b=( ) A.12 B.-12 C.5 D.12或-12 3.(2022黑龙江哈三中三检)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,AC=2,O为△ABC的外心,则·=( ) A.5 B.2 C.-4 D.-6 4.(2024江西九江期末)如图,单位圆M与数轴相切于点O,把数轴看成一个“皮尺”,对于任意一个正数α,它对应正半轴上的点A,把线段OA按逆时针方向缠绕到圆M上,点A对应圆M上的点A',这样就得到一个以M为顶点,MO为始边,MA'为终边的圆心角∠OMA',记∠OMA'=α,若扇形OMA'的面积为,则·=( ) A. 题组二 投影向量和投影数量 5.(2024江西南昌期末调研)已知向量在方向上的投影向量为,且||=2,则||=( ) A.2 B. 6.(2024江西宜春中学月考)已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=4,则向量a在b方向上的投影数量为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 7.(2023湖北新高考联考协作体期末)若向量a在b方向上的投影向量为4b,且|b|=2,则数量积a·b= . 8.(2022湖南长沙一中月考)在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,则在方向上的投影数量为 . 9.(2024河南濮阳外国语学校月考)如图,已知网格小正方形的边长为1,点P是阴影区域内的一个动点(包括边界),O,A在格点上,则·的取值范围是 . 题组三 向量数量积的运算性质与应用 10.(2022广西百校联盟暨桂林质检)给出下列五个命题: ①|a|2=a2; ②=; ③(a·b)2=a2·b2; ④(a-b)2=a2-2a·b+b2; ⑤若a·b=0,则a=0或b=0. 其中正确命题的序号是( ) A.①②③ B.①④ C.②④ D.②⑤ 11.(2024江西师范大学附属中学月考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则|2a-b|=( ) A. C.1 D.13 12.(2024山东淄博实验中学月考)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为,则(a+2b)·(2a-b)=( ) A.36 B.-36 C.32 D.-32 13.(2024四川绵阳南山中学月考)已知a,b相互垂直,|a|=,|b|=1,且(a+λb)⊥(2a-λb),则实数λ的值为( ) A.2 B.±2 C. 14.(2024江西宜春丰城第九中学期末)若O是△ABC所在平面内的一点,且满足||,则△ABC的形状为( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 15.(2023浙江Z20名校联盟联考)已知△ABC是边长为1的正三角形,,则·=( ) A. D.1 16.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,,若·=-3,则cos∠DAB= . 17.(2024安徽六安一联)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=,∠BAC=30°,F是线段AC上的动点(异于端点),点E在BC边上,且. (1)若F是AC边的中点,求·的值; (2)当·时,请确定点F的位置. 18.(2023吉林四平第一高级中学月考)如图,在△OAB中,P为线段AB上的一个动点(不含端点),且满足(0<λ<1). (1)若λ=,用向量表示; (2)若||=2,且∠AOB=120°,求·的取值范围. 能力提升练 题组 向量数量积及其运算性质的应用 1.(2022湖北新高考协作体联考)已知△ABC是腰长为2的等腰直角三角形,D是斜边AB的中点,点P在CD上,且,则·=( ) A.- D.4 2.(2024广东深圳外国语学校模拟)已知a,b,c均为单位向量,且满足3a+4b+5c=0,则cos
=( ) A. 3.(2024安徽定远三中月考)《易经》是中华民族智慧的结晶,易有太极,太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦,易经包含了深刻的哲理.图1是八卦模型图,其轮廓为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中AB=1,O为 ... ... 
