微专题2 题型应用 二次函数图象信息问题归类应用 类型一根据抛物线的特征确定a,b,c及其有关代数式的符号 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc<0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④am2+bm
0;②a+b+c=0;③ac-b+1=0;④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.其中正确的有(B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2024·苏州期末)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为 0 . 类型二利用二次函数的图象求方程的根 4.(2024·湖州期末)已知抛物线y=x2+mx+3的对称轴为直线x=-2. (1)求m的值; (2)求抛物线与x轴的交点坐标. 【解析】(1)由题意,∵对称轴为直线x=-2, ∴-=-2,∴m=4. (2)由题意,结合(1)得, 抛物线为y=x2+4x+3. 令y=0,∴x2+4x+3=0, ∴x=-1或x=-3,∴该抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(-3,0). 5.(2024·南京模拟)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(1,-2),与x轴的另一个交点为C. (1)求该图象的表达式. (2)求AC的长. 【解析】(1)把A(-1,0),B(1,-2)代入y=x2+bx+c得,解得, ∴二次函数的表达式为y=x2-x-2. (2)对于抛物线y=x2-x-2,令y=0,得x2-x-2=0,解得x=-1或2, ∵A(-1,0),∴C(2,0), ∴OA=1,OC=2, ∴AC=OA+OC=3. 6.如图所示,已知抛物线y=(x-2)(x+a)(a>0)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,且点A在点B的左侧,连结AC,BC. (1)若抛物线过点M(-2,-2),求实数a的值; (2)在(1)的条件下,求出△ABC的面积. 【解析】(1)∵抛物线过点M(-2,-2), ∴(-2-2)(-2+a)=-2,解得a=4, 经检验,a=4符合题意,故实数a的值为4; (2)∵a=4,∴抛物线为y=(x-2)(x+4), 令y=0,则(x-2)(x+4)=0,解得x=2或x=-4,∴A(-4,0),B(2,0),∴AB=6, 令x=0,则y=(x-2)(x+4)=-2, ∴C(0,-2),∴OC=2, ∴S△ABC=AB·OC=×6×2=6. 7.(2024·洛阳期末)已知二次函数y=ax2+2ax-m. (1)当a=1时,二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围; (2)若二次函数y=ax2+2ax-m的部分图象如图所示, ①求二次函数y=ax2+2ax-m图象的对称轴; ②求关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解. 【解析】(1)当a=1时,y=x2+2x-m, ∵当a=1时,二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点,∴22-4×1×(-m)>0, 解得m>-1, 即m的取值范围是m>-1; (2)①∵y=ax2+2ax-m=a(x+1)2-a-m, ∴二次函数y=ax2+2ax-m的图象的对称轴是直线x=-1; ②由图象可知:二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴交于点(1,0), 由①知,该函数的对称轴为直线x=-1, ∴该函数与x轴的另一个交点为(-3,0), ∴关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解是x1=1,x2=-3. 类型三利用二次函数的图象求不等式的解集 8.(2024·宿州期末)抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,当y>5时,x的取值范围是 0n的解集是 -22. (3)由题图可知,当k>2时,方程ax2+bx+c=k无实数根. 11.(2024·广州期末)如图,直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A,B两点,经过A,B两点的抛物线y=-x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C(1,0). (1)求抛物线的表达式; (2)结合图象,直接写出不等式-x2+bx+c>kx+3的解集. 【解析 ... ... 