微专题3 题型应用 二次函数与其他知识的综合问题 类型一二次函数与线段问题 1.(2024·临沂期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于点A(0,-4),B(4,0). (1)求该抛物线的函数表达式; (2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点,过点P作x轴的平行线交AB于点C,过点P作y轴的平行线交x轴于点D,求PC+PD的最大值及此时点P的坐标. 类型二二次函数与面积问题 2.(2024·苏州模拟)如图,已知抛物线L:y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C. (1)求抛物线L的表达式; (2)若抛物线L关于原点对称的抛物线为L',求抛物线L'的表达式; (3)在抛物线L'上是否存在一点P,使得S△ABC=2S△ABP 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 类型三二次函数与等腰三角形 3.(2024·潮州期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+3(a,b为常数,且a≠0)与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点,与y轴交于点C,点D为抛物线C1的顶点. (1)求抛物线C1的函数表达式和点D的坐标; (2)将抛物线C1向右平移m(m>0)个单位长度得到抛物线C2,抛物线C2的顶点为E,请问在平移过程中,是否存在m的值,使得以点A,C,E为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形 若存在,请求出所有符合条件的m的值;若不存在,请说明理由. 类型四二次函数与直角三角形 4.(2024·三明期中)已知:二次函数y=x2+bx+c的顶点P在直线y=-4x上,并且图象经过点A(-1,0). (1)求这个二次函数的表达式. (2)D是线段BP上的一个动点,过点D作DE⊥x轴于点E,E点的坐标为(a,0),△DCE的面积为S. ①求△DCE的面积S的最大值; ②在BP上是否存在点D,使△DCE为直角三角形 若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由. 类型五二次函数与平行四边形 5.(2024·宝鸡模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(4,0)和点C(-1,0),与y轴交于点B(0,3).点Q为x轴上一动点,过点Q作PQ⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点P. (1)求抛物线的函数表达式; (2)连结OM,以O,M,P,B为顶点的四边形是否为平行四边形 若是,求出Q点坐标;若不是,请说明理由. 6.(2024·杭州期末)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其中A(-3,-4),B(0,-1). (1)求该抛物线的函数表达式; (2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连结PA,PB,求△PAB面积的最大值; (3)若点M为抛物线对称轴上的点,抛物线上是否存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形 如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.微专题3 题型应用 二次函数与其他知识的综合问题 类型一二次函数与线段问题 1.(2024·临沂期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于点A(0,-4),B(4,0). (1)求该抛物线的函数表达式; (2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点,过点P作x轴的平行线交AB于点C,过点P作y轴的平行线交x轴于点D,求PC+PD的最大值及此时点P的坐标. 【解析】(1)把A(0,-4),B(4,0)代入y=x2+bx+c得,解得, ∴抛物线的函数表达式为y=x2-3x-4; (2)设直线AB的表达式为y=kx+t,把A(0,-4),B(4,0)代入得:, 解得, ∴直线AB的表达式为y=x-4, 设P(m,m2-3m-4),则PD=-m2+3m+4, 在y=x-4中,令y=m2-3m-4得x=m2-3m,∴C(m2-3m,m2-3m-4), ∴PC=m-(m2-3m)=-m2+4m, ∴PC+PD=-m2+4m-m2+3m+4=-2m2+7m+4=-2(m-)2+, ∵-2<0,∴当m=时,PC+PD有最大值,最大值为, 此时点P的坐标为(,-). ∴PC+PD的最大值为,此时点P的坐标是(,-). 类型二二次函数与面积问题 2.(2024·苏州模拟)如图,已知抛物线L:y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C. (1)求抛物线L的表达式; (2)若抛物线L关于原点对称的抛物线为L',求抛物线L'的表达式; (3)在抛物线L'上是否存在一点P,使得S△ABC=2S△ABP 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)将点A(-1,0),B( ... ...
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