微专题4　几何构图　常用辅助线构造圆的基本图形 课时作业（原卷+答案） 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

微专题4　几何构图　常用辅助线构造圆的基本图形 类型一 向弦作垂线,连半径,构造直角三角形 类型 向弦作垂线,连半径 基本图形 辅助线描述 作OC⊥AB于点C,连结OA 【针对训练】 1.(2024·青岛期中)如图,AB是☉O的直径,点C为圆上一点,AC=6,D是的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则BC的长为(B) A.5 B.3 C.2 D.1 2.(2023·武汉中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,∠ACB=2∠BAC. (1)求证:∠AOB=2∠BOC; (2)若AB=4,BC=,求☉O的半径. 【解析】(1)∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,∠ACB=2∠BAC, ∴∠AOB=2∠BOC. (2)过点O作半径OD⊥AB于点E, ∴AE=BE, ∵∠AOB=2∠BOC,∠DOB=∠AOB, ∴∠DOB=∠BOC.∴BD=BC. ∵AB=4,BC=,∴BE=2,DB=, 在 Rt△BDE 中,∠DEB=90°, ∴DE==1, 在Rt△BOE中,∠OEB=90°, OB2=(OB-1)2+22, 解得OB=,即☉O的半径是. 类型二 连半径,构造圆心角或等腰三角形 类型 连半径 基本图形 辅助线描述 连结OA,OB 【针对训练】 3.(2024·扬州期中)如图,在☉O中,∠CBD=20°,∠BAC=30°,则∠BDO=(A) A.40° B.42° C.50° D.52° 4.(2023·鞍山中考)如图,AC,BC为☉O的两条弦,D,G分别为AC,BC的中点,☉O的半径为2.若∠C=45°,则DG的长为(D) A.2 B. C. D. 类型三 构建直径所对的圆周角 类型 构建直径所对的圆周角 基本图形 辅助线描述 连结AC 【针对训练】 5.(2024·南京期中)如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,BD平分∠ABC,若∠D=20°,则∠ABD的度数为(D) A.20° B.25° C.30° D.35° 6.(2024·安徽模拟)如图,已知点P为☉O外一点,点A为☉O上一点,直线PA与☉O的另一个交点为点B,AC是☉O的直径,∠PAC的平分线AD交☉O于点D,连结CD并延长交直线PA于点M,连结OD. (1)求证:OD∥BM; (2)若tan∠ACD=,☉O的直径为4,求AB的长度. 【解析】(1)∵AD平分∠PAC, ∴∠MAD=∠CAD, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∴∠MAD=∠ODA, ∴OD∥BM; (2)如图,连结BC, ∵AC为☉O的直径,☉O的直径为4, ∴∠ADC=∠ABC=90°,AC=4, ∵tan∠ACD=, ∴tan∠ACD==, 令AD=x,则CD=2x, 由勾股定理得:AD2+CD2=AC2, ∴x2+(2x)2=42, 解得x=(负值已舍去), ∴AD=,CD=, ∵OD∥BM, ∴∠M=∠ODC, ∵OD=OC, ∴∠OCD=∠ODC, ∴∠M=∠OCD, ∴AM=AC=4, ∵∠ADC=90°, ∴CM=2CD=, ∵BC2=CM2-(AM+AB)2,BC2=AC2-AB2, ∴AC2-AB2=CM2-(AM+AB)2, 即42-AB2=-(4+AB)2, 解得AB=. 类型四 构造圆内接四边形 类型 构造圆内接四边形 基本图形 辅助线描述 连结AD,CD 【针对训练】 7.(2024·天津质检)如图,A,B,C,D四个点均在☉O上,∠AOD=50°,AO∥DC,则∠B的度数为(C) A.55° B.60° C.65° D.70° 8.如图,点A,B,C,D,E在☉O上,且∠B+∠E=165°,则的度数为(C) A.15° B.20° C.30° D.35° 9.如图,已知A,B,C,D,E是☉O上的五个点,圆心O在AD上,∠BCD=110°,则∠AEB的度数为(D) A.70° B.35° C.40° D.20° 10.如图,☉O的半径长为4,弦AB的长为,点C在☉O上,若∠BAC=135°,则AC的长为 -1　. 微专题4　几何构图　常用辅助线构造圆的基本图形 类型一 向弦作垂线,连半径,构造直角三角形 类型 向弦作垂线,连半径 基本图形 辅助线描述 作OC⊥AB于点C,连结OA 【针对训练】 1.(2024·青岛期中)如图,AB是☉O的直径,点C为圆上一点,AC=6,D是的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则BC的长为( ) A.5 B.3 C.2 D.1 2.(2023·武汉中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,∠ACB=2∠BAC. (1)求证:∠AOB=2∠BOC; (2)若AB=4,BC=,求☉O的半径. 类型二 连半径,构造圆心角或等腰三角形 类型 连半径 基本图形 辅助线描述 连结OA,OB 【针对训练】 3.(2024·扬州期中)如图,在☉O中,∠CBD=20°,∠BAC=30°,则∠BDO=( ) A.40° B.42° C.50° D.52° 4.(2023·鞍山中考)如图,AC,BC为☉O的两条弦,D,G分别为AC,BC的中点,☉O的半径为2.若∠C=45°,则DG的长为( ) ... ...