微专题5　几何构图　与切线有关的圆的三种常用辅助线 课时作业（原卷+答案） 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

微专题5　几何构图　与切线有关的圆的三种常用辅助线 类型一 见切线,连半径 类型特点 已知条件中有切点 基本图形 辅助线描述 连结圆心与切点,得到垂直关系 【针对训练】 1.(2023·重庆中考B卷)如图,AB为☉O的直径,直线CD与☉O相切于点C,连结AC,若∠ACD=50°,则∠BAC的度数为(B) A.30°　 B.40°　 C.50°　 D.60° 2.(2023·泸州中考改编)如图,AB是☉O的直径,☉O的弦CD⊥AB于点E,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点F,连结BC.求证:CB平分∠DCF. 【证明】如图,连结OC,∵CF是☉O的切线,点C是切点,∴OC⊥CF,即 ∠OCF=90°, ∴∠OCB+∠BCF=90°, ∵CD⊥AB,∴∠BEC=90°, ∴∠BCE+∠OBC=90°, ∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC, ∴∠BCE=∠BCF,即CB平分∠DCF. 3.(2024·无锡期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O是BC上的一点,以点O为圆心,OC的长为半径作☉O,且AB与☉O相切于点H,连结AO. (1)求证:AO平分∠BAC. (2)若AB=5,tan∠OAC=,求☉O的半径. 【解析】(1)连结OH,∵AB与圆相切于H, ∴OH⊥AB,∵∠ACB=90°, ∴OC⊥AC,∵OC=OH,∴AO平分∠BAC; (2)设☉O的半径是r, ∵tan∠OAC==, ∴AC=2OC=2r, ∵半径OC⊥AC,∴AC切圆于C, ∵AH切圆于H,∴AH=AC=2r, ∴BH=AB-AH=5-2r, ∵tan B==, ∴=,∴BC=10-4r, ∵AB2=AC2+BC2, ∴(2r)2+(10-4r)2=52, ∴4r2-16r+15=0, ∴r=1.5或r=2.5(不符合题意,舍去), ∴☉O的半径是1.5. 类型二 有公共点,连半径证垂直 类型特点 已知直线经过圆上的一点 基本图形 辅助线描述 连结公共点和圆心,通过证明垂直,根据判定定理得到切线 【针对训练】 4.(2023·眉山中考节选)如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交BC于点E,AE平分∠BAC,过点E作ED⊥AC于点D,延长DE交AB的延长线于点P.求证:PE是☉O的切线. 【解析】连结OE, ∵AE平分∠BAC, ∴∠OAE=∠DAE, ∵OE=OA,∴∠OEA=∠OAE, ∴∠DAE=∠OEA, ∴OE∥AD, ∵ED⊥AC,∴OE⊥PD, ∵OE是☉O的半径, ∴PE是☉O的切线. 5.(2023·遂宁中考节选)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径,AD=CD,过点D的直线l交BA的延长线于点M,交BC的延长线于点N,且∠ADM=∠DAC.求证:MN是☉O的切线. 【证明】连结OD交AC于点H,如图, ∵AD=CD,∴=, ∴半径OD⊥AC,∴∠AHO=90°, ∵∠ADM=∠DAC, ∴AC∥MN, ∴∠MDO=∠AHO=90°, ∴半径OD⊥MN, ∴MN是☉O的切线. 6.(2024·深圳模拟)如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,☉O交直线OB于点E,点D,交OA于点F,连结EF并延长交AB于点G. (1)求证:直线AB是☉O的切线; (2)若∠B=30°,CG=,求BD的长. 【解析】(1)连结OC, ∵OA=OB,CA=CB,∴AB⊥OC,又∵OC是☉O的半径, ∴直线AB是☉O的切线. (2)连结CF,∵∠ACO=90°,∠A=∠B=30°,∴∠COA=90°-∠A=60°,∵OC=OF,∴△COF是等边三角形,∴∠OCF=60°,OC=CF,∴∠FCG=∠ACO-∠OCF=30°, ∵OE=OF,∠EOF=∠A+∠B=60°,∴△EOF是等边三角形,∴∠OFE=60°=∠COA,∴EF∥OC,∴∠CGF=∠BCO=90°,∴=cos 30°=,∵CG=,∴CF==2, ∴OD=OC=CF=2,∴OA=OB=2OC=4,∴BD=OB-OD=4-2=2,∴BD的长是2. 类型三 无公共点,作垂直证半径 类型特点 未知直线过圆上一点 基本图形 辅助线描述 过圆心作直线的垂线,通过证d=r得到切线 【针对训练】 7.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD+BC=CD,以AB为直径作☉O, 求证:CD与☉O相切. 【解析】如图,连结CO并延长,交DA的延长线于点H,过点O作OE⊥CD于点E, ∵∠BAD=∠ABC=90°, ∴∠HAO=∠ABC=90°, 又∵∠AOH=∠BOC,AO=BO, ∴△AOH≌△BOC(A.S.A.), ∴AH=BC,HO=CO, ∵AD+BC=CD,AH+AD=HD, ∴CD=DH,∴∠H=∠DCH, ∵∠OAH=∠OEC=90°,HO=CO, ∴△AHO≌△ECO(A.A.S.), ∴AO=OE, 即圆心O到CD的距离等于圆的半径, ∴CD与☉O相切. 8.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上的一点,DE=DC,以D为圆心,DB长为半径作☉D,A ... ...