3.3 幂函数 课件（共24张PPT） 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(课件网) 3.3 幂函数 学习目标 1.理解幂函数的概念，会画幂函数的图象； 2.结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质. 新课讲授 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例. （1）如果张红以1元的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付元，这里是的函数； （2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数； （3）如果立方体的棱长为，那么立方体的体积，这里是的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形场地的边长，这里是的函数； （5）如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度，即，这里是的函数. 问题1：请观察（1）—（5）中的函数解析式，讨论它们有何共同特征. （1）； （2）； （3）； （4），即=； （5），即. 实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1，2，3，，-1；它们都是形如的函数. 概念讲解 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 注意：(1)自变量前的系数是1. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数. (4)函数的定义域与α有关. 例1 在函数y＝ ，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( ) A.0 　　B.1　　 C.2 　　 D.3 B 解析：∵y＝ ＝x－2，∴是幂函数； y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数； y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数. 归纳总结 幂函数的判断方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式， 即:(1)系数为1；(2)指数为常数；(3)后面不加任何项. 反之，若一个函数为幂函数，则该函数必是这种形式. 练1.已知y＝(m2＋2m－2) ＋2n－3是幂函数，求m，n的值. 练2.已知幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2，4)，则k+α等于(　　) D 解析：∵幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2，4)， ∴k-1=1，2α=4，∴k=2，α=2.∴k+α=4，故选D. 问题2：根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？ 根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题. 问题3：你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x－1这五个函数的图象吗？ 问题4：观察函数图象以及函数解析式，完成下表. y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 值域 奇偶性 单调性 R 　 R　 R　 [0，＋∞) {x|x≠0} R　 [0，＋∞)　 R　 [0，＋∞)　 {y|y≠0} 奇函数　 偶函数 　 奇函数 非奇非偶函数　 奇函数 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 通过以上信息，我们可以得到： (1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 和y＝x－1的图象都通过点 ； (2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是 ，函数y＝x2是 ； (3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，函数y＝x－1 ； (4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴 ，向右与x轴_____. (1，1) 奇函数 偶函数 单调递减 无限接近 无限接近 单调递增 注意：一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1，1). (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增. 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸. (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义. ... ...