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课件网) 3.2.1 双曲线及其标准方程 学习目标 1.掌握双曲线的定义、几何图形，熟记双曲线的标准方程并能初步应用. 2.通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力. 3.初步会按特定条件求双曲线的标准方程. 知识回顾 回顾：椭圆的定义及标准方程是什么？ 定义：与两个定点的距离之和为常数(大于两个定点间的距离)的点的轨迹是椭圆. 根据焦点位置的不同，其标准方程为 或 思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会是什么样的？ 新课讲授 问题1：(1)取一条拉链，拉开一部分； (2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上； (3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线. 试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ 双曲线. 曲线上的点满足条件：||MF1|－|MF2||＝常数，且常数小于|F1F2|. 概念讲解 双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 (大于零且小于︱F1F2︱)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线. F1 F2 焦距 焦点 M ① 两个定点F1、F2———双曲线的焦点; ②两个焦点间的距离 |F1F2| ———焦距，记为2c. 符号语言：若(2＜||)，则点M的轨迹为双曲线.,，， 讨论1：双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 若没有“绝对值”，则动点的轨迹是双曲线的一支. 若设动点为点M，则当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支； 当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支. 讨论2：在双曲线的定义中，必须要求“常数大于零且小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”和“常数为0”时，动点的轨迹分别是什么 ①如果定义中常数等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1或F2为端点的两条射线(包括端点). ②如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在. ③如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 例1 已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为( ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 D 分析：当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10， ∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10， ∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线. 问题2：类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy， 此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2 (c，0)，焦距为2c，c>0. 设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)， ∴
， 类比椭圆标准方程的化简过程，移项、平方 得
， 即
. 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0， 类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0， 代入上式，得
. 问题3：设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0 ，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 a，b，c的关系 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2=a2+b2 归纳总结 哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，a就跟谁. 例2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(-5，0)，(5，0)且双 ... ... 
