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课件网) 第四章 4.3.1 对数函数的概念 1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系. 2.了解指数函数与对数函数互为反函数,并会求指数函数或对数函数的反函数. 情境：前面我们讲过细胞分裂时得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2x表示．现在我们研究相反的问题．例如一个这样的细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么分裂次数x就是得到的细胞个数y的函数．这个函数写成对数的形式就是x=log2y． 按照习惯，用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y=log2x． 因为y=ax是单调函数,每一个y都有唯一确定的x与之对应,所以x是y的函数. 两个特殊的对数函数: ①常用对数函数:以10为底的对数函数,记作 y=lg x ; ②自然对数函数:以无理数e为底的对数函数,记作 y=ln x. 一、对数函数的定义 形如y=logax（a＞0且a≠1）的函数叫做对数函数，其中x是自变量， 定义域是（0，+∞)，值域是R. 中真数不是自变量x，不是对数函数． 中对数式后加2， 所以不是对数函数 中真数为x＋1， 不是x，系数不为1，故不是对数函数． 中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数． 经验一 判断一个函数是不是对数函数的方法 (1)看形式:判断一个函数是不是对数函数,关键看解析式是否符合y=logax(a>0,且a≠1)这一结构形式. (2)明特征:对数函数的解析式具有三个特征 ①系数为1; ②底数为大于0,且不等于1的常数; ③对数的真数仅有自变量x. 只要有一个特征不具备,则不是对数函数. R (0,+∞); R [0,+∞); (0,+∞); R {x∈R|x≠0} 1．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是( ) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 练一练 由x－1＞0，得x＞1 2.函数 的定义域为 . 解析：要使函数有意义，需有 解得-2＜x＜1，所以函数 的定义域为（-2，1）. 经验二 1求含有对数式的函数的定义域,需保证每个对数式有意义,即真数大于零, 底数大于零且不等于1. 2.附加有偶次根号，分母等，需要额外添加限制 经验三 3.求含有对数式的函数的定义域,要求原函数的定义域， 不要求化简变形后的函数的定义域。 指数函数y=ax是对数函数y=logax的反函数,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数.即它们互为反函数. 二、反函数的概念 指数函数y=ax是对数函数y=logax的反函数,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数.即它们互为反函数. 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)和对数函数x=logay(a>0,且a≠1)刻画的是同一对变 量x,y之间的关系,所不同的是:在指数函数中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R; 在对数函数x=logay(a>0,且a≠1)中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是(0,+∞). 像这样的两个函数叫作互为反函数. 指数函数y=ax是对数函数y=logax的反函数,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数.即它们互为反函数. 函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与y=ax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称. 互为反函数的两个函数的定义域、值域相反,并且反函数是相对而言的. （1)指数函数y=10x, 它的底数是10, 它的反函数是对数 函数y=lg x(x>0). (4)对数函数y=log7x, 它的底数是7, 它的反函数是指数 函数y=7x(x∈R). 1.若函数f(x)=ax-1的反函数的图象过点(4,2),则a= . 解析:因为f(x)的反函数的图象过点(4,2), 所以f(x)的图象过点(2,4), 所以a2-1=4, 所以a=4. 答案:4 练一练 1. 辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)y=logx3是对数函数. ( ) (2)y=loga5x(a>0,且a≠1)是对数函数. ( ) (3)函数y=loga(x2+x+1)的定义域为R. ( ) 解：(1)×.y=logx3不是对数函数,对数函数的底数是常数. (2)×.对数函数自变量x的系数为1. (3)√.因为Δ=1-4=-3<0,所以x2+x+1>0恒成立. 2.设f ... ...
