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课件网) 5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 1.理解函数零点概念，了解函数零点与方程根的关系. （难点） 2.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数. 3.会求函数的零点. （重点） 给定的二次函数y＝x2＋2x－3，其图像如下： 问题1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？ 提示：方程的根为－3,1. 问题2：函数的图像与x轴的交点是什么？ 提示：交点为(－3,0)，(1,0)． 问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？ 提示：相等． 想一想： 一．函数的零点 1.函数的零点：函数y＝f(x)的 与 称为这个函数的零点． 2.注意： （1）求函数的零点就是求方程f(x)=0的根。 （2）函数的零点不是一个点，而是具体的自变量的取值。 （3）函数的零点可以有一个或多个，也可能没有。 图像 横轴的交点的横 坐标 3.方法：方程f (x)＝0有实数根 函数y＝f (x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点 例1 求下列函数的零点． (1)y＝－x2－x＋20； (2)f(x)＝x4－1. 求函数的零点常用方法是解方程 (1)一元二次方程可用求根公式求解．(2)高次方程可用因式分解法求根． 解：(1)y＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20)＝－(x＋5)(x－4)， 方程－x2－x＋20＝0的两根为－5,4.故函数的零点－5,4； (2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， ∴方程x4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1. 方法总结 分析：先因式分解，再确定函数的零点． 1.求出下列函数的零点 (1)f(x)＝－8x2＋7x＋1； (2)f(x)＝1＋log3x； (3)f(x)＝4x－16. (3)令4x-16=0,则4x=42，解得x=2， 所以函数的零点为2 解: (1)令-8x2+7x+1=0,即8x2-7x-1=0, ∴x= - 或x=1 ∴f(x)的零点为- 和1 (2)令1+log3x=0,则log3x=-1 解得x= 所以函数的零点为 练一练： 二．函数零点的判定 1.方法：如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是_____的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号 ，即_____，则(a，b)内，函数y＝f(x)至少_____零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解． f(a)f(b)<0 有一个 连续 相反 2.注意: a.函数y=f(x)的图像必须是连续曲线，且f(a)·f(b)<0. b.只能判断零点的存在，可能有一个或多个，但并不能求出根的值. d.如果知道y=f(x)是单调函数，那么零点就只有一个。 c.当f(a)·f(b)>0时,在区间(a,b)内可能有零点也可能没零点。 解：因为f(-1) ＜0,f(0) ＞0,其图像是连续曲线， 所以函数f(x)在区间[-1，0]内有零点 即方程f(x)=0在区间[-1，0]内有实数解 例2.已知函数 f(x)=3x-x2.问：方程f(x)=0在区间[-1，0]内有没有实数解？为什么 变式：方程f(x)=0在R上有几个实数解呢？ 函数对应的方程为3x-x2 ＝0 即求函数y＝3x 与y＝x2图像交点个数． 在同一坐标系下，画出两个函数的图像， 如图知有1个交点．从而函数y＝ 3x-x2有一个零点． 变式：方程f(x)=0在R上有几个实数解呢？ 2.已知方程2x-1=5-x,则该方程在哪个区间内一定有解（ ） A.(0,1） B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 练一练： C C 3. 练一练： 解：(1)函数对应的方程为log2x－x＋2＝0. 即求函数y＝log2x 与y＝x－2图像交点个数． 在同一坐标系下，画出两个函数的图像， 如图只有2个交点．从而函数y＝log2x－x＋2有两个零点． 4.判断下列函数有几个零点？ (1)y＝log2x－x＋2 (2)y＝ex＋2x－6； 练一练： 方法二：由于y1＝ex在R上单调递增， y2＝2x－6在R上单调递增， ∴y＝ex＋2x－6在R上单调递增． 又f(0)＝1＋0－6＝－5<0，f(3)＝e3＋6- 6＝e3>0. ∴y＝f(x)在(0,3)上有一个零点．从而知此函数只有一个零点； （2）方法一：函数对应的方程为ex+2x-6=0. 即求函数y＝ex 与 y＝-2x+6图像交点个数． 在同一坐标系下，画出两个函数的图像， 如图，只有一个交点. 所以此函 ... ...
