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课件网) 3.1 指数幂的拓展 1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化. 2.了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法. 初中，学习了整数指数幂，给定正数a和正整数n,有, , 在实际问题中，指数幂中的指数不一定都是整数. 薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积S(单位：hm2)与年数（年）的关系式为:. 其中为侵害面积的初始值 问题：如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？ 指数是分数. 1.给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂. 记作，这就是正分数指数幂. 例如：，则；，则 探究一 正分数指数幂 ①当是正整数时，分数指数幂满足： ②与类似， 当底数时，，其中读作“次根号下”，也叫根式运算. 例如：，； ③根据分数指数幂的定义， 分数指数幂的条件是：底数. 虽然， 但不能写成. 分数指数幂的底数必须是正数哦！ 例1.把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式： （1）； （2）； （3）； （4）. ； (2)； (3)； (4) 解析 2.类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义. 至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了. 探究二 负分数指数幂 那么，指数是无理数的情况呢？ 以 为例说明如下 因为，所以 上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值 借助计算器，可算出越来越趋近于同一个数，即 一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数. 同理 这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了. 归纳 ①给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0； ②0的任意正实数幂都等于0； ③0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义. 例2. 计算： （1）； （2）； （3）. (1)； (2)； (3) 解析 1.计算下列各式： ①； ②. ① . ② ． 解： 2.把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式： （1）； （2）； （3）； （4）. 解： 3.用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）. ① ② ① . ② 解： （1）负数的分数指数幂，在某些情况下是没有意义的，如，但却是有意义的，避免情况过于复杂，所以对分数指数幂的底数统一要求为正数，这也是后面指数函数底数要求为正数的原因. （2）为了便于指数幂的运算，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算律进行指数幂的运算.
