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课件网) 5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 1.理解函数零点概念，了解函数零点与方程根的关系.（难点） 2.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数. 3.会求函数的零点. （重点） 试判断下列方程根的个数： 问题 : 的解是否存在？ 利用函数性质判定方程解的存在性 两个 一个 0个 ？ 一元二次方程 方程的根 二次函数 函数的图象 图象与x轴交点的横坐标 x2－x－6=0 x2－2x +1=0 y=x2－x－6 x2－2x +3=0 y=x2－2x +1 y=x2－2x +3 问题1：完成下表，并观察方程的根与相应函数图象与x轴交点的横坐标有何关系？ 方程的根是相应函数图像与x轴交点的横坐标 零点的定义：想一想:零点是个点吗？(3)零点不是点，而是一个实数.注：(1)(2)这就为我们提供了一个通过函数性质确定方程解的途径，体现出转化思想A．(-1,0), (3,0) B. x=-1 C. x=3 D. x=-1或3 练一练 问题2：下列哪些情况一定可以判定小马过河？ (1) (2) 想一想： (1) 如果有，则有几个？ (2) 如果把“连续不断”去掉结果如何？ . 抽象归纳 零点存在定理: 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即 f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在开区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解. 注: (1)对“至少一个的理解” (2)零点存在定理作用： 判断是否存在零点。 知识归纳 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例. (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上只有一个零点. (2)函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点. (3)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且有零点，则f(a)·f(b)<0 (4)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)·f(b)>0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上没有零点. 零点存在定理：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线, 并且在区间端点的函数值一正一负, 即 f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内, 函数y=f(x)至少有一个零点,即在开区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解. 注: (1)“至少一个的理解” (2)零点存在定理作用： 判断是否存在零点。 (3) f(a)·f(b)<0是函数y=f(x)在区间(a, b)上有零点的_____条件 充分而非必要 函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线 例1 方程 解: 设函数 由于 所以f(-1)·f(0)<0 又因为函数 f(x)是一条连续的曲线 所以由零点存在定理可知函数f(x)在区间[-1,0] 存在零点， 即:方程 在区间[-1,0]有解。 总结：(1)步骤 (2)思想 若题中没有给定区间[-1,0]，你能探索原方程的解所在的大致区间吗？ 的解是否存在？若存在, 能否判断解所在的大致区间？ 解: 由于 所以f(1)·f(2)<0 又因为函数 f(x)是一条连续的曲线 所以由零点存在定理可知函数f(x)在区间[1,2]存在零点， 即方程 在区间[1,2]有解。 即时练习 更精确一点解的区间吗？ 想一想： 解: 由于 所以f(1)·f(2)<0 又因为函数 f(x)是一条连续的曲线 所以由零点存在定理可知函数f(x)在区间[0,1]存在零点， 即方程 在区间[0,1]只有一个解。 又因为函数 f(x)是在R上单调递增， 所以函数 f(x)是在R至多一个交点 综上，函数 f(x)是在[0,1]恰有一个零点 的解是否存在？若存在, 你能判断有几个吗？ 1.函数f(x)=-x2-2x+3的零点是( ) A. 3,-1 B . -3,1 C .1,3 D . -1,-3 B 2.若函数f(x)=ax+2在区间[-2,1]上存在零点，则实数的取值范围是( ) A .[-2,1] B. [-1,2] C. [-2.5,4] D.（-∞,-2] ∪ [1，+∞） D 一个概念(关系)： 函数 方程 零点 实数解 数 值 存在性 个 数 一个定理： 函数零点与方程实数解的关系 零点存在定理． 本节课你学到了哪些知识？ 函数方程 ... ...
