专题26.1.2反比例函数的图像与性质（三）六大题型（一课一讲）2024-2025九年级下册数学同步讲练【人教版】（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题26.1.2反比例函数的图像与性质（三）六大题型（一课一讲） 【人教版】 题型一：反比例函数综合之交点问题 【经典例题1】如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，点，点B是线段的中点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出当x取什么值时，． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等． （1）把点的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作轴于，证明得的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）联立方程求得的坐标，然后根据即可求得的面积； （3）根据图象即可求得时，自变量的取值范围． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ； 如图，作轴于，则， ， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， 、在的图象上， ， 解得，， 一次函数的解析式为； （2）解：由， 解得或， ， ； （3）解：∵与交于，两点， ∴由图可得，当或时，． 【变式训练1-1】关于x的一次函数和反比例函数的图象都经过点．求： (1)一次函数和反比例函数的解析式； (2)两函数图象的另一个交点B的坐标； (3) AOB的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）分别把点A坐标代入两个函数解析式中利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式求出对应的交点坐标即可； （3）设一次函数与x轴交于C，则，根据进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴； （3）解；设一次函数与x轴交于C，则， ∴， ∴． 【变式训练1-2】如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时自变量的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：， ∴， 把，代入中得：， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴当时自变量的取值范围或． 【变式训练1-3】如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为； (2)不等式的解集为或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）将点A，点B坐标代入反比例函数解析式可求n的值，用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据函数图象可求不等式的解集． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴点， 根据题意得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：观察图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为：或． 【变式训练1-4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与 ... ...