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课件网) 第2章 一元二次函数、方程和不等式 湘教版必修第一册 2.1 相等关系与不等关系 2.1.2 基本不等式 & 2.1.3 基本不等式的应用 必备知识解读 知识点1 基本不等式 例1-1 (2024·山西省运城市调研)已知,，且 ,则下列结论恒成立的是 ( ) D A. B. C. D. 【解析】利用基本不等式时需注意各数必须是正数，不等式 的使用条 件是, . 对于A,当时， ,所以A错误； 对于B,C,,只能说明,同号，当, 都小于0时，B,C错误； 对于D，因为,所以, ， 所以（当且仅当时，等号成立）,即 成立. 知识点2 基本不等式的一个应用模型———最值定理 例2-2 (2024·广东省学业水平模拟)已知，，且，则 的最大值 为( ) C A.80 B.77 C.81 D.82 【解析】，， ， ， ，当且仅当 时等号成立， 有最大值81． 例2-3 已知两个正数，满足，则 的最小值为( ) B A.3 B.6 C. D. 【解析】因为， 为正数， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以 的最小值为6. 知识点3 基本不等式的变式与拓展 例3-4 ［多选题］若，，且 ，则下列不等式恒成立的是 ( ) AD A. B. C. D. 【解析】由，得 ，故C错误； 由得， ，故A正确； B中， ，故B错误； 由得 ， ，D正确． 知识点4 柯西不等式 例4-5 已知，为正数且，求证： ． 【解析】方法1 （基本不等式），且 ， ，当且仅当 ,即 时，等号成立. 方法2 （柯西不等式） ,当且仅 当，即 时，等号成立. 例4-6 ［教材改编P40 T2］已知,,, 是不全相等的正数,求证： . 【解析】 ，（【注意】柯西不等式的应用） 因为,,,是不全相等的正数,所以 不成立，所以等号取不到. 所以 . 关键能力构建 题型1 利用基本不等式比较大小 例7 已知,则与 的大小关系是_____. 【解析】观察题中两个式子，发现恰好是 , ,,当且仅当 ,即 时，等号成立. 题型2 利用基本不等式求最值 例8（1） 函数 的最大值是 ___. 【解析】（【破题点】调整 的系数，使原等式中出现和为定 值的代数式） . , ， ， ,当且仅当，即 时取等号. 故当时， . （2）函数 的最小值是 ___. 8 【解析】 ,（【擦亮眼】此处连续两次利用配凑 法构造出了需要的代数式） , , , 当且仅当,即 时取等号. 故当时， . （3）若,是正数，则 的最小值是 ___. 4 【解析】 ， 当且仅当即 （【易错点】当连续使用多个基本不等式时，要注意 等号成立的一致性）时取等号. 故 的最小值为4. 【学会了吗丨变式题】 1.(2024·山东省济宁海达行知中学开学考试)函数 的最小值为 ( ) A A.6 B.4 C.2 D.3 【解析】因为，所以 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，故选A． 2.(2024·天津市第二耀华中学月考)已知，则 的最小值为___. 9 【解析】因为，所以 ，所以 ，当且仅当，即时等号成立，故 的最小值为9. 例9 (2024·天津市滨海新区期中)若实数,满足，则 的最小值为 ___. 4 【解析】因为 ，所以 ， 当且仅当即或 时等号成立． （【易错点】连续两次使用基本不等式要保证等号成立的一致性） 【学会了吗丨变式题】 3.若，，则 的最小值为___. 4 【解析】因为，，则 ， 当且仅当 时，原式取得最小值，为4． 例10 已知,,且,则 的最小值为____. 16 【解析】方法1 （“1”的代换） , . ,, ， 当且仅当,即 时，取等号. , 当,时， . 方法2 （消元法）, . ,, . ,且 ， ， 当且仅当,即时,取等号，此时 . 当,时， . 例11 (2024·四川省成都市期中)当时， 的最小值为( ) B A.8 B.9 C.10 D.12 【解析】由，得 ，所以 ， （【有的放矢】此处用到了隐含的“1”的代换，解题时就是要朝着新增的式子整体是 1的方向发展） 当且仅当，即时等号成立，所以 的最小值为9． 【学会了吗丨变式题】 4.(2024·江苏省扬州市期中)若正数，满足，则 的最小值是 ( ) B A.1 B. C.9 D.16 【解析】 ... ...
