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课件网) 第2章 一元二次函数、方程和不等式 湘教版必修第一册 章末总结 例1 已知,,,求证： . 【解析】, . 于是 ①. , , ②. （当且仅当时取等号）, , . 综上可得 . 命题点1 利用基本不等式求最值 例2 (2023·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)若不等式 对任 意满足的正实数,,均成立，则实数 的最大值为_____. 【解析】由 ,得 , 当且仅当且,即, 时取等号. 的最小值为,即实数 的最大值为 . 例3 (2022·上海交大强基测试)已知，则 的最小值为_____. 【解析】,, ,即 ，当且仅当 即即时等号成立.故的最小值为 . 例4 (2022·上海交大强基测试),,为正数，求 的最小值. 【解析】 ，当且仅当 时等号成立. 故 的最小值为4. 命题点2 柯西不等式 例5 (2023·全国高中数学联赛江西赛区预赛)设,, .证明： ,并确定等号成立的条件. 【解析】 , 当且仅当,即 时，等号成立. 例6 (2023·南京大学强基计划)已知,,,求 的 最小值. 【解析】由柯西不等式可知 ，当且仅当时，即, 时， 等号成立. 故原式的最小值为 . 例7 (2022·全国高中数学联赛重庆赛区初赛)若不等式 对任意正 实数,都成立，则实数 的最小值为_ ___. 【解析】由柯西不等式的变形可知 ，整理得 ，当且仅当,即 时等号成立， 则的最小值为 . 命题点3 方程、不等式的解集问题 例8 (2023·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)已知集合 , .若集合的子集个数为4，则实数 的取值范围是. 【答案】 【解析】由题意，集合中的元素个数为2，即 为二元集合， 或 , 图2-1 设,函数图象如图2-1所示，则 中的元 素为4和5，则 解得 . 所以实数的取值范围是 . 例9 (2023·中山大学强基计划)解不等式 . 【解析】易知, , 所以且 . 原式可化简为 ， 即 ， 得 ， 所以 ， 化简得,即 . 综上，不等式的解集为或 ｝. 例10 (2022·全国高中数学联赛山东赛区初赛)用表示不超过 的最大整数，则方程 的解集为_____. } 【解析】由，得,所以 ， 即 . 例11 (2022·全国高中数学联赛一试B卷)不等式 的解集为_____ _____. 或 【解析】移项通分可得,进一步整理得 ，则解集为 或 . 例12 (2022·全国高中数学联赛甘肃赛区预赛)已知集合 , ,若，且中恰有一个整数，则 的取值范围是 _____. } 【解析】集合或,可记集合 , 由于,,显然,, 中的整数为3， 于是,即解得 . 所以的取值范围是 }. 谢谢 21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 兼职招聘： https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
